设为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记
。
（Ⅰ）当时，若，，求和的值；
（Ⅱ）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，，当，相同时，是奇数；当，不同时，是偶数。求集合中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，。写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由。
（Ⅰ），。
（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，
相应的分别为、、、，
所以中的每个元素应有奇数个，
所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
、、、，
对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，
所以集合、、、满足题意，
假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，
则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，
故中元素个数的最大值为。
（Ⅲ）
，
此时中有个元素，下证其为最大。
对于任意两个不同的元素，满足，
则，中相同位置上的数字不能同时为，
假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，
所以除外至少有个元素含有，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足，
此时不满足题意，
故中最多有个元素。
本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系。
（Ⅰ）直接根据定义计算。
（Ⅱ）注意到的个数的奇偶性，根据定义反证证明。
（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证。
