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2019年高考数学北京--理8

  2019-06-19 15:09:20  

(2019北京卷单选题)

数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图),给出下列三个结论:

①曲线恰好经过个整点(即横、纵坐标均为整数的点);

②曲线上任意一点到原点的距离都不超过

③曲线所围成的“心形”区域的面积小于

其中,所有正确结论的序号是(  )。

【A】①

 

【B】②

 

【C】①②

 

【D】①②③

 

【出处】
2019年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第8题
【题情】
本题共被作答100次,正确率为63.00%,易错项为A
【解析】

本题主要考查函数综合。

①项,根据对称性,此处考虑的情况。

(ⅰ)当时,方程可写作,解得

时,曲线经过整点

(ⅱ)当时,由于,当且仅当时取等号;

,则

当且仅当时,该方程有唯一整数解

有唯一整数解

(ⅲ)当时,曲线经过点

(ⅳ)当时,,此时

方程不可能有整数解。

综上所述,时,曲线经过整点

由对称性知也经过整点

即曲线恰好经过个整点。故①项正确。

②项,根据对称性,仅考虑的情况,此时

(ⅰ)当时,,点到原点距离均为

(ⅱ)当时,,此时

则此段曲线上的点到原点距离小于

(ⅲ)当时,曲线经过点,该点到原点距离为

(ⅳ)当时,

所以,当且仅当时取等号。

综上所述,当时,曲线上的点到原点的距离均不大于

故曲线上所有点到原点的距离均不大于,故②项正确。

③项,依次连接①中的整点, 

这些点的连线均处于心形区域内部,

即心形区域的面积不小于这些点围成的面积。

而这些点围成的面积为

则心形区域的面积大于,故③项错误。

故正确选项的序号为①②。

故本题正确答案为C。



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