一、高考大纲  
    考试内容：
    复数的概念。
    复数的加法和减法。
    复数的乘法和除法。
    数系的扩充。
    考试要求：
    (1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。
    (2)掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。
    (3)了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。
    二、高考要览

    三、命题趋势

　　从历年高考试题看，复数部分的考查重点是复数的复数的有关概念，复数的代数形式运算。

　1、题型和题量：本章考查的题型以选择题或填空题为主，一般试卷中出一个小题，分值在5分左右。

　2、知识点考查：复数的有关概念是复数的运算、复数应用的基础，高考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模。在解答涉及这些概念的复数运算、推理题时，对这些概念的理解、掌握，既是审清题的关键，也是获得解题思路的源泉。

　3、难度与创新：复数在高考题中一般没有难题，对复数代数形式运算的考查中，常出现可利用的复数`i，1+-i，-1/2+-root()(3)/2i`的乘方运算的结果，如用`(1+-i)^2=+-i,i^(4m+k)=i^k`,`(-1/2+-root()(3)/2i)^3=1`来简化计算过程的题目．

    四、复习建议
　　根据本章知识及高考对本章的考查情况，复习时应该注意以下几个方面：
    1、坚持全面复习与重点复习相结合
    本章的知识点有：（1）数的概念的发展；（2）复数的有关概念；（3）复数的向量表示；（4）复数的加法与减法；（5）复数的乘法与除法。
    由于目前试题多以中低档题目出现，难度不大，但涉及面广，对基本的熟练度程度要求较高，所以对基本问题不能放松要求。举例如下：
    (1)复数的基本概念。如复数为虚数、纯虚数的条件、复数相等条件的运用等。
    (2)下述结果的变形运用
    ①`i^(4n)=1,i^(4n+1)=i,i^(4n+2)=-1,i^(4n+3)=-i (ninN)`
    ②`(1+-i)^2=+-2i,(1-i)/(1+i)=-i,(1+i)/(1-i))=i`
    ③设`omega=-1/2+root()(3)/2i,则omega^3=1,omega^2=bar omega,1+omega+omega^2=0`
    2、重视复数与相关知识的联系
    (1)复数问题转化为实数范围内的代数问题；
    (2)复数问题转化为平面几何问题；在复习过程中，要充分利用相关知识，实现问题的转化。
    3、强调数学思想方法的训练
    (1)转化思想：在全面理解掌握复数知识的同时，善于将复数向实数转化，将复数向几何转化
    (2)分类讨论的思想：分类讨论是一种重要的解题策略和方法，它能使复杂的问题简单化，复数考题中经常用到这种分类讨论思想。

    五、思想与方法综览
    1、等价转化思想
    [案例]设关于`x`的方程`x^2-(tantheta+i)x-(2+i)=0`
    (1)若方程有实数根，求锐角`theta`和实数根；
    (2)证明：对任意`theta≠kpi+pi/2(kinZ)`，方程无纯数虚数根。
    分析：复数问题通常转化为实数问题来解决。
    解答：⑴设实数的根是`alpha`，
    则`alpha^2-(tantheta+i)alpha-(2+i)=0`
    即`alpha^2-alphatantheta-2-(alpha+1)=0.`
    `.:alpha、tanthetainR,:.{(alpha^2-alphatantheta-2=0),(alpha+1=0):}`
    `:.alpha=-1,且tantheta=1,又0<theta<pi/2,:.theta=pi/4.`
    (2)若方程存在纯虚数根，设为`bi(binR)`
    则`(bi)^2-(tantheta+i)(bi)-(2+i)=0`
    即`{(-b^2+b-2=0),(btantheta+1=0):}`此方程组无纯虚数解，
    对任意`theta!=kpi+pi/2(kinZ)`,方程无纯虚数根。
    点评：这种解法是解此类方程的基本解法，利用复数想等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想。

    2、整体思想

    [案例]设`z=1/2+root()(3)/2i`,那么`z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6`的值为_______________.
    解答：解法一：由`z=1/2+root()(3)/2i`,得
    `(z-1/2)^2=-3/4,即z^2-z+1=0` ①
    而`z!=-1`,`:.(z+1)(z^2-z+1)=0,:.z^3+1=0` ②
    `：.`原式`=z+z^2+z^3+z*z^3+z^2*z^3+z^3*z^3=z+z^2-1-z-z^2+1=0`
    解法二：设`omega=-1/2+root()(3)/2i`，则`z=-bar omega`,利用复数`omega`的性质可得原式=0
    解法三：根据等比数列求和公式，原式`=(z(1-z^6))/(1-z)`。由`z=1/2+root()(3)/2i`，可得`z^3=-1`，从而`z^6=1`，所以原式=0。

    3、数形结合思想
    [案例]已知`|z|=1`，且`z^5+z=1`，求`z`。
    分析：由`z^5+z=1`联想复数加法的几何性质，不难发现`z，z^5,1`所对应的三点`A、C、B`及原点`o`构成平行四边形的四个顶点（如图）
    解答：由分析知△`AOB`为等边三角形，易求得`z=1/2+root()(3)/2i`
    当点`z`对应的点Ａ在实轴下方时，`z=1/2-root()(3)/2i`
    点评：巧妙地运用几何意义解题，简便有效。
　

    4、分类讨论思想
    [案例]设`a≥0`，求满足`z^2+2|z|=a`的复数`z`
    分析：一般思路是设`z=x+yi(x，y∈R)`，或由`z^2+2|z|=a`转化为`z^2=a-2|z|`，则`z^2∈R`，从而`z`是实数或纯虚数。
    解答：`z^2+2|z|∈R`，
    ∴`z`为实数或纯虚数。

    若`z∈R`，则原方程即为`z^2+2|z|-a=0`
    ∴`z=±(-1+root()(1+a)(a≥0)`。
    若`z`为纯虚数，设`z=yi(y∈R且y≠0)`。
    则原方程为`|y|^2-2|y|+a=0`
    当`a=0`时，`|z|=2`，即`z=±2i`；
    当`0<a≤1`时，`|y|=1±root()(1+a)`。
    ∴`z=-(1±root()(1+a))i`，或`z=(1±root()(1+a))i`
    当`a>1`时，方程无实根，即此时原方程无纯虚数。
    综上所述`z=±2i`，或`z=-(1±root()(1+a))i`或`z=(1±root()(1+a))i`或`z=+-(-1+root()(1+a))i`。

    二、知识梳理
    (一)、复数的概念
    1、虚数单位i的引入．
    (1)规定：①`i^2=－1`；②实数与i进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
    (2)i的整数幂具有周期性：
    `i^(4n)=1，i^(4n+1)=i，i^(4n+2)=－1，i^(4n+3)=－i，其中n∈N`．
    2、复数z=a+bi(a，b∈R)的分类．
    `复数(z=a+bi){(实数(b=0)),(虚数(b≠0){(纯虚数 (a=0且b≠0)),(非纯虚数(a≠0且b≠0)):}):}`
    3、数系的扩充．
    (1)数集的扩充过程是：自然数集(N)→整数集(x)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数集(C)．
    (2)实系数一元二次方程`ax^2+bx+c=0`的解的情况：记`△=b^2－4ac`，
    ①当△≥0时，方程有两实根．
    ②当△<0时，方程在复数集C中有两个根`x=(－b±sqrt(－(b^2－4ac))i)/(2a)`．
    (二)、复数的表示法
    1、代数形式：z=a+bi(a、b∈R)，其中a、b分别称为复数x的实部与虚部．
    2、复平面、实轴、虚轴．
    复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，并且复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数．
    (三)、复数的相关概念
    1、两复数相等：实部与虚部分别相等的两复数．
    2、共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不为零的两共轭复数也叫做共轭虚数．
    3、不全为实数的两复数不能比较大小．
    4、复数z=a+bi(a、b∈R)，对应的点为Z(a，b)，O(0，0)为复平面内的原点，则`|vec(OZ)|`为复数z的模．
    (四)、复数的运算
    1、复数的加法与减法．
    (1)运算法则：
    设`z_1=a+bi，z_2=c+di(a、b、c、d∈R)`，则
    `z_l±z_2=(a+bi)±(c+di)===(a±c)+(b±d)i`．
    (2)运算律：设`z_1、z_2、z_3∈C`，则有
    ①`z_1+z_2=z_2+z_l`； ②`(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)`．
    2、复数的乘法与除法．
    (1)运算法则，设`z_1=a+bi，z_2=c+di(a、b、c、d∈R)`，则
    `(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i`；
    `(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc－ad)/(c^2+d^2)`
    (2)运算律：设`z_1、z_2、z_3∈C`，则有
    ①`z_1•z_2=z_2•z_l`； ②`(z_1•z_)•z_3=z_1•(z_2•z_3)`； ③`z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3`．
    3、几个常见的结论．
    (1)`(1±i)^2=±2i`；(2)`(l+i)/(1－i)=i，(l－i)/(1＋i)=－i`；(3)`1/i=－i`；
    (4)记`omega_1=－1/2+sqrt(3)/2i，omega_2=－1/2－sqrt(3)/2i`
    ①`omega_1^3=omega_2^3=1`；
    ②`omega_1^2=omega_2，omega_2^2=omega_1`；
    ③`omega_1^2+omega_1+1=omega_2^2+omega_2+1=0`．


　

    2、第一轮基础训练 (1)

    3、第一轮单元训练 (1)