第 十五章  复数
 §15.1 复数的概念及运算

复习目标 知识梳理 应用举例 实践体验 拓展探究 基础训练 提高训练 学习感悟
    一、复习目标
    1、理解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。

　　2、掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。

　　3、了解从自然数系到复数系扩充的基本思想。

    二、重点难点
   

    三、特别提示
    1、注意充分利用几个重要的结论，如`zinRhArrbar z=z`，应注意负数与实数的区别与联系，数的概念扩展为复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定使用了（如不灯市的性质、绝对值的定义、偶次方非负等）；
　　2、求解计算时，要灵活利用`i、omega`的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、w的计算问题；
　　3、要准确的掌握复数的表示法：`z=a+bi(a、binR)`但若无`a、binR`这一条件，就不能视`a、b`为`z`的实部、虚部；
　　4、复数问题实数化是解决问题最基本的也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关该你那和两个复数相等的充要条件；
　　5、处理有关复数的模与共轭复数的问题，如若能借助复数的模和共轭复数的有关性质，运用整体思想，往往可以受到化难为易变繁为简的效果，应予以重视。
    知识梳理
    1、复数的概念：形如`a+bi(a,binR)`的数叫复数，其中`a`叫做复数的实部,`b`叫做复数的虚部，`a-bi(a,binR)`叫做这个复数的共轭复数。
　　2、复数的分类
　　⑴复数`z=a+bi(a、binR)`为实数`hArrb=0`；
　　⑵复数`z=a+bi(a、binR)`为虚数`hArrb!=0`；
　　⑶复数`z=a+bi(a、binR)`为纯虚数`hArra=0,b!=0`。
　　3、虚数不能比较大小，有大小关系的两数必为实数。
　　4、如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等。
　　5、两复数的和仍是一个复数，复数减法规定为加法的逆运算，(a+bi)+-(c+di)=(a+-c)+(b+-d)i。
　　6、两分数的积仍是一个复数，其运算同多项式的乘法类似，只要将`i^2`换成-1，实数和虚部分别相乘，
如：`(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i`。
　　7、复数的除法规定为乘法的逆运算，除法运算方法是分母实数化，如`(a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c-di))/(c^2+d^2)(c+di≠0)`
　　8、复数`z=a+bi`一一对应着复平面内的点`Ｚ(a,b)`。
　　9、数集的扩展：从自然数集到整数集到有理数集到实数集到复数集。
    应用举例
    一、 应用特点
    1、复数基本概念的应用；
　　2、利用复数相等解题；
　　3、复数代数形式的运算

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、已知m∈R，复数`z=m(m-2)/(m-1)+(m^2+2m-3)i`当`m`为何值时
    ⑴z∈R      ⑵z是纯虚数      ⑶z对应的点位于复平面的第二象限；
　　⑷z对应的点在直线`x+y+3=0`上。

    提示 示范 　

    2、已知z=1+i ⑴设`w=z^2+3bar z-4`,求`w`   ⑵如果`(z^2+az+b)/(z^2-z+1)=1-i`,求实数`a、b`的值
    提示 示范 　

    3、 设`x，y`为实数,且`x/(1-i)+y/(1-2i)=5/(1-3i)`，则`x+y`=________。
    提示 示范 　

　
    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、以下命题：
    ① 方程`x^2+1=0`无解
    ② `△=b^2-4ac﹥0`时，关于`x`的一元二次方程`ax^2+bx+c=0(a≠0)`有不等两实根；
    ③ `x`为任何数时，恒有`x^2=｜x｜^2`；
    ④ `z_1z_2=0hArrz_1=0或z_2=0`；
    ⑤ 若`x+yi=1+i`则`x=1，y=1`，其中正确的有_____________。
    提示 示范 　

    2、⑴[2006安徽高考,1]复数`(1+root()(3)i)/(root()(3)-i)`等于………………（   ）
　　A.`i`     B.`-i`     C.`root()(3)+i`    D.`root()(3)-i`
　　⑵[2006江西高考,２]已知复数`z`满足`(root()(3)+3i)z=3i`，则`z`等于……………………（    ）
　　A.`3/2-root()(3)/2i`     B.`3/4-root()(3)/4i`     C.`3/2+root()(3)/2i`     D.`3/4+root()(3)/4i`
　
    提示 示范 　
    拓展探究
    1、 已知`z`是复数，`z+2i`、`z/(2-i)`均为实数（`i`为虚数单位），且复数`(z+ai)^2`在复平面上对应的点在第一象限，求实数`a`的取值范围。
    提示 示范 　
    基础训练
    参考答案（缺）

 
    提高训练
    参考答案（缺）

    学习感悟
    1、设`Z=a+bi（a，b∈R）`，利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题的常用方法，同时要学会以整体角度出发去分析和求解。
　　2、数的概念扩展为复数后，实数集中有些概念、运算、性质不再适用，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负数。
　　3、要熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法，是考试的重点。
　　4、化简时，要合理运用`i`和`omega`的性质，常能事办功倍。
　　5、性质`zbar z=|z|^2=|bar z|^2`是复数运算与实数运算相互转化的重要依据，也是把复数看做整体进行运算的主要依据，要认真领会运用。

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