§15.1 复数的概念及运算

第十五章复数
§15.1 复数的概念及运算

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
1、理解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。

　　2、掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。

　　3、了解从自然数系到复数系扩充的基本思想。

二、重点难点

三、特别提示
1、注意充分利用几个重要的结论，如 $z \in R \Leftrightarrow \bar{z} = z$ ，应注意负数与实数的区别与联系，数的概念扩展为复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定使用了（如不灯市的性质、绝对值的定义、偶次方非负等）；
　　2、求解计算时，要灵活利用 $i 、 ω$ 的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、w的计算问题；
　　3、要准确的掌握复数的表示法： $z = a + b i (a 、 b \in R)$ 但若无 $a 、 b \in R$ 这一条件，就不能视 $a 、 b$ 为 $z$ 的实部、虚部；
　　4、复数问题实数化是解决问题最基本的也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关该你那和两个复数相等的充要条件；
　　5、处理有关复数的模与共轭复数的问题，如若能借助复数的模和共轭复数的有关性质，运用整体思想，往往可以受到化难为易变繁为简的效果，应予以重视。

知识梳理
1、复数的概念：形如

a + b i (a, b \in R)

的数叫复数，其中

a

叫做复数的实部,

b

叫做复数的虚部，

a - b i (a, b \in R)

叫做这个复数的共轭复数。
　　2、复数的分类
　　⑴复数

z = a + b i (a 、 b \in R)

为实数

\Leftrightarrow b = 0

；
　　⑵复数

z = a + b i (a 、 b \in R)

为虚数

\Leftrightarrow b \neq 0

；
　　⑶复数

z = a + b i (a 、 b \in R)

为纯虚数

\Leftrightarrow a = 0, b \neq 0

。
　　3、虚数不能比较大小，有大小关系的两数必为实数。
　　4、如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等。
　　5、两复数的和仍是一个复数，复数减法规定为加法的逆运算，(a+bi)+-(c+di)=(a+-c)+(b+-d)i。
　　6、两分数的积仍是一个复数，其运算同多项式的乘法类似，只要将

i^{2}

换成-1，实数和虚部分别相乘，
如：

(a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

。
　　7、复数的除法规定为乘法的逆运算，除法运算方法是分母实数化，如

\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) (c - d i)}{c^{2} + d^{2}} (c + d i \neq 0)

　　8、复数

z = a + b i

一一对应着复平面内的点

Ｚ (a, b)

。
　　9、数集的扩展：从自然数集到整数集到有理数集到实数集到复数集。

    应用举例
    一、应用特点
    1、复数基本概念的应用；
　　2、利用复数相等解题；
　　3、复数代数形式的运算

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、已知m∈R，复数 $z = m \frac{m - 2}{m - 1} + (m^{2} + 2 m - 3) i$ 当 $m$ 为何值时
⑴z∈R ⑵z是纯虚数 ⑶z对应的点位于复平面的第二象限；
　　⑷z对应的点在直线 $x + y + 3 = 0$ 上。

提示	示范
复数z=a+bi（a、b∈R），当且仅当b=0时，z∈R；当且仅当a=0且b≠0时，z为纯虚数；当a﹤0，b﹥0时，z对应的点位于复平面的第二象限；复数z对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上。
解:⑴由 $m^{2} + 2 m - 3 = 0$ 且m-1≠0，得m=-3，故当m=-3时，z∈R。 ⑵由 ${\begin{cases} m \frac{m - 2}{m - 1} = 0 \\ m^{2} + 2 m - 3 \neq 0 \end{cases}$ 解得m=0或m=2. $∴$ 当m=0或m=2时，z为纯虚数。 ⑶由 ${\begin{cases} m \frac{m - 2}{m - 1} < 0 \\ m^{2} + 2 m - 3 > 0 \end{cases}$ 解得m<-3或1<m<2. 故当m﹤-3或1﹤m﹤2时，z对应的点位于复平面的第二象限。 ⑷由 $m \frac{m - 2}{m - 1} + (m^{2} + 2 m - 3) + 3 = 0$ ,得, $\frac{m^{2} + 2 m - 4}{m - 1} = 0$ 解得 $m = 0 或 m = - 1 \pm \sqrt[]{5}$ . $∴$ 当 $m = 0 或 m = - 1 \pm \sqrt[]{5}$ 时， $z$ 对应的点在直线 $x + y + 3 = 0$ 上。评注:代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则

2、已知z=1+i ⑴设

w = z^{2} + 3 \bar{z} - 4

,求

w

⑵如果

\frac{z^{2} + a z + b}{z^{2} - z + 1} = 1 - i

,求实数

a 、 b

的值

提示	示范
⑴采用代入法求解；⑵代入化简，通过复数相等将其转化为实数问题求解。
解:⑴ $∵ z = 1 + i$ ， $∴ = z^{2} + 3 \bar{z} - 4 = {(1 + i)}^{2} + 3 (\bar{1 + i}) - 4 = - 1 - i,$ (2)由 $\frac{z^{2} + a z + b}{z^{2} - z + 1} = 1 - i$ ,把z=1+i代入得 $\frac{（ 1 + i ）^{2} + a (1 + i) + b}{{(1 + i)}^{2} - (1 + i) + 1} = 1 - i$ $∴ \frac{(a + b) + (a + 2) i}{i} = 1 - i$ . $∴ (a + b) + (a + 2) i = 1 + i$ . $∴ {\begin{cases} a + 2 = 1 \\ a + b = 1 \end{cases} 得 {\begin{cases} a = - 1 \\ b = 2 \end{cases}$ 评注: 通过复数相等的定义，把虚数问题转为实数问题是重要的数学思想。在代入化简时，要注意复数的运用技巧。

3、设

x ， y

为实数,且

\frac{x}{1 - i} + \frac{y}{1 - 2 i} = \frac{5}{1 - 3 i}

，则

x + y

=________。

提示

示范

解:

\frac{x}{1 - i} + \frac{y}{1 - 2 i} = \frac{x (1 + i)}{2} + \frac{y (1 + 2 i)}{5} = (\frac{x}{2} + \frac{y}{5}) + (\frac{x}{2} + \frac{2 y}{5}) i

。

而 $\frac{5}{1 - 3 i} = \frac{5 (1 + 3 i)}{10} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ ，所以 $\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = \frac{1}{2}$ 且 $\frac{x}{2} + \frac{2 y}{5} = \frac{3}{2}$ ，解得 $x = - 1 ， y = 5$ 。
所以 $x + y = 4$

评注:代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运 $i$ 的幂的性质， $w = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt[]{3}}{2} i$ 的性质及 $1 \pm i$ 的幂的性质等，可有效地简化运算，提高速度。

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、以下命题：
    ① 方程

x^{2} + 1 = 0

无解
②

△ = b^{2} - 4 a c ﹥ 0

时，关于

x

的一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

有不等两实根；
③

x

为任何数时，恒有

x^{2} = ｜ x ｜^{2}

；
④

z_{1} z_{2} = 0 \Leftrightarrow z_{1} = 0 或 z_{2} = 0

；
⑤ 若

x + y i = 1 + i

则

x = 1 ， y = 1

，其中正确的有_____________。

提示	示范
把握数系扩充后的命题变化是关键．
解:数系扩充后，以下命题就不一定正确了，方程 $x^{2} + 1 = 0$ ,即 $x^{2} = i^{2}$ 有解；方程 $x^{2} + i x - 1 = 0$ 中，其判别式 $△ = i^{2} - 4 （ - 1 ） = 3 ﹥ 0$ ，可是这个方程没有实根；对于复数 $i$ ， ${\| i \|}^{2} = 1$ ，而 $i^{2} = - 1$ ，∴ $｜ i ｜^{2} = i^{2}$ 不成立；命题④正确；对于命题⑤，要注意只有 $x 、 y \in R$ 时才成立，例如： $x = i ， y = 1$ 时就不成立。答案：④ 评注:通过本例可以体会到引入复数的必要性和数系扩充后的命题变化，由于数系扩充到了复数，所以许多在实数范围内不能解决的问题，现在都可以解决，特别是由于负数可以开偶次方，六种代数运算加、减、乘、除、乘方、开方可以在复数范围内畅通无阻。

2、⑴[2006安徽高考,1]复数

\frac{1 + \sqrt[]{3} i}{\sqrt[]{3} - i}

等于………………（）
　　A.

i

- i

\sqrt[]{3} + i

\sqrt[]{3} - i

　　⑵[2006江西高考,２]已知复数

z

满足

(\sqrt[]{3} + 3 i) z = 3 i

，则

z

等于……………………（）
　　A.

\frac{3}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} i

\frac{3}{4} - \frac{\sqrt[]{3}}{4} i

\frac{3}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} i

\frac{3}{4} + \frac{\sqrt[]{3}}{4} i

提示	示范
代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则.
解:(1) $\frac{1 + \sqrt[]{3} i}{\sqrt[]{3} - i} = \frac{1 + \sqrt[]{3} i}{- i (1 + \sqrt[]{3} i)} = \frac{1}{- i} = i, 故选 A 。$ (2) $z = 3 \frac{i}{\sqrt[]{3} + 3 i} = \frac{3 i (\sqrt[]{3} - 3 i)}{(\sqrt[]{3} + 3 i) (\sqrt[]{3} - 3 i)} = \frac{3 \sqrt[]{3} i + 9}{12} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt[]{3}}{4} i$ ,故选D。答案：（1）A （2）D 评注:高考对复数的考查以低档题为主，重点考查复数的加、减、乘、除运算。

拓展探究
1、已知

z

是复数，

z + 2 i

、

\frac{z}{2 - i}

均为实数（

i

为虚数单位），且复数

{(z + a i)}^{2}

在复平面上对应的点在第一象限，求实数

a

的取值范围。

提示	示范
求出复数 ${(z + a i)}^{2}$ 的表达式，利用对应的点在第一象限的特征列出不等式组．
解:设 $z = x + y i （ x 、 y \in R ）$ ， ∵ $z + 2 i = x （ y + 2 ） i$ ，由题意得 $y = - 2$ 。 ∵ $\frac{z}{2 - i} = \frac{x - 2 i}{2 - i} = \frac{1}{5} (x - 2 i) (2 + i) = \frac{1}{5} (2 x + 2) + \frac{1}{5} (x - 4) i ，$ 由题意得 $x = 4$ 。∴ $z = 4 - 2 i$ 。 ∵ ${(z + a i)}^{2} = (12 + 4 a - a^{2}) + 8 (a - 2) i$ , 根据条件，可得 ${\begin{cases} 12 + 4 a - a^{2} > 0 \\ 8 (a - 2) > 0 \end{cases}$ ∴实数a得取值范围是 $(2 ， 6)$ 。评注:⑴本题主要考查了复数的基本概念，复数的几何意义及运算； ⑵复数问题实数化是决绝复数问题的最基本、最重要的思想。

基础训练

1、复数

\frac{{(1 + i)}^{2}}{1 - i}

等于( )
A、

1 - i

B、

1 + i

C、

- 1 + i

D、

- 1 - i

2、已知复数

z

满足

(\sqrt[]{3} + 3 i) z = 3 i

，则

z

等于( )
A、

\frac{3}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} i

\frac{3}{4} - \frac{\sqrt[]{3}}{4} i

\frac{3}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} i

\frac{3}{4} + \frac{\sqrt[]{3}}{4} i

3、在复平面内，复数

\frac{1 + i}{i}

对应的点位于(   )
    A.第一象限      B.第二象限     C.第三象限      D.第四象限
    4、

{(1 + i)}^{20} - {(1 - i)}^{20}

=______________.
5、已知

3 + (5 - 2 x) i = (2 + y) - (3 + x) i

,则实数

x

=________________,实数

y

=___________。
6、若复数

z

同时满足

z - \bar{z} = 2 i, \bar{z} = i z (i

为虚数单位)，则

z

=______________。
7、计算：

i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + \dots \dots 100 i^{100}

.
　　8、设复数

z_{1}, z_{2}

满足

z_{1} z_{2} + 2 i z_{1} - 2 i z_{2} + 1 = 0

,若

| z_{1} - 2 i | = 2 i z_{2}

,求

| z^{2} + 2 i |

参考答案（缺）

1、复数

\frac{{(1 + i)}^{2}}{1 - i}

等于( )
A、

1 - i

B、

1 + i

C、

- 1 + i

D、

- 1 - i

    答案:
    2、已知复数 $z$ 满足 $(\sqrt[]{3} + 3 i) z = 3 i$ ，则 $z$ 等于(   )
    A、 $\frac{3}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} i$       B. $\frac{3}{4} - \frac{\sqrt[]{3}}{4} i$       C. $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} i$       D. $\frac{3}{4} + \frac{\sqrt[]{3}}{4} i$

    答案:
    3、在复平面内，复数 $\frac{1 + i}{i}$ 对应的点位于(   )
    A.第一象限      B.第二象限     C.第三象限      D.第四象限

答案:
4、 ${(1 + i)}^{20} - {(1 - i)}^{20}$ =______________.

答案:
5、已知 $3 + (5 - 2 x) i = (2 + y) - (3 + x) i$ ,则实数 $x$ =________________,实数 $y$ =___________。

答案:
6、若复数 $z$ 同时满足 $z - \bar{z} = 2 i, \bar{z} = i z (i$ 为虚数单位)，则 $z$ =______________。

答案:
7、计算： $i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + \dots \dots 100 i^{100}$ .

答案:
　　8、设复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} + 2 i z_{1} - 2 i z_{2} + 1 = 0$ ,若 $| z_{1} - 2 i | = 2 i z_{2}$ ,求 $| z^{2} + 2 i |$ .

答案:

提高训练

1、

z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C

,则

z_{1} = z_{2} = z_{3}

是

{(z_{1} - z_{2})}^{2} + {(z_{2} - z_{3})}^{2} = 0

成立的(   )
    A.充分不必要条件     B.不要不充分条件
    C.充要条件           D.即不充分也不必要条件
    2、已知复数

z

满足

| z | = 1

，那么点

Z

在复平面上的轨迹是_______________。
3、在复平面上

z

满足

| 2 z + i | = | z - 1 |

，复数

z

对应的点为

Z

，，求

Z

点的轨迹，并在轨迹上求使

| z |

最大的点

Z

的对应复数。
4、证明在复数范围内，方程

{| z |}^{2} + (1 - i) \bar{z} - (1 + i) z = \frac{5 - 5 i}{2 + i} (i

为虚数单位)无解。

参考答案（缺）

1、

z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C

,则

z_{1} = z_{2} = z_{3}

是

{(z_{1} - z_{2})}^{2} + {(z_{2} - z_{3})}^{2} = 0

成立的(   )
    A.充分不必要条件     B.不要不充分条件
    C.充要条件           D.即不充分也不必要条件

　　答案:
2、已知复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，那么点 $Z$ 在复平面上的轨迹是_______________。

　　答案:
3、在复平面上 $z$ 满足 $| 2 z + i | = | z - 1 |$ ，复数 $z$ 对应的点为 $Z$ ，，求 $Z$ 点的轨迹，并在轨迹上求使 $| z |$ 最大的点 $Z$ 的对应复数。

　　答案:
4、证明在复数范围内，方程 ${| z |}^{2} + (1 - i) \bar{z} - (1 + i) z = \frac{5 - 5 i}{2 + i} (i$ 为虚数单位)无解。

　　答案:

学习感悟
1、设 $Z = a + b i （ a ， b \in R ）$ ，利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题的常用方法，同时要学会以整体角度出发去分析和求解。
　　2、数的概念扩展为复数后，实数集中有些概念、运算、性质不再适用，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负数。
　　3、要熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法，是考试的重点。
　　4、化简时，要合理运用 $i$ 和 $ω$ 的性质，常能事办功倍。
　　5、性质 $z \bar{z} = {| z |}^{2} = {| \bar{z} |}^{2}$ 是复数运算与实数运算相互转化的重要依据，也是把复数看做整体进行运算的主要依据，要认真领会运用。

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