§13.2 函数的极限、连续性及其应用

第十三章极限
§13.2 函数的极限、连续性及其应用

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
了解函数极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会求某些函数的极限．

了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．

二、重点难点
(这里输入)

三、特别提示
(1)自变量 $x$ 无限趋近于 $x_{0}$ 时， $f (x)$ 的极限为 $a$ ，不要求函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处是否有意义，即其一： $x$ 趋向于 $x_{0}$ 的极限 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = a$ ，是从 $x$ 趋向于 $x_{0}$ 的无限变化过程中来看 $f (x)$ 的变化趋势的，对于 $x_{0}$ 是否属于函数 $f (x)$ 的定义域不作要求；其二： $lim_{x \to x_{0}} f (x) = a$ ，对于 $a$ 是否等于函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的函数值也不作要求，即 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = a$ 与函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处是否有定义及是否等于 $f (x_{0})$ 都无关．

(2)应用函数极限的运算法则应注意：
①各个函数的极限都应存在；

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个；

(3)注意函数连续性的重要结论：

①基本初等函数在定义域内每一点处都连续；

②初等函数在定义域内每一点处的极限值等于该点的函数值．

    (4)函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续必须具备以下三个条件：
    ①函数 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处有定义；
    ②函数 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处有极限；
    ③函数 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的极限值等于在这一点 $x_{0}$ 处的函数值，即 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$

知识梳理

1、当 $x \to \infty$ 时，函数 $f (x)$ 的极限

如果 $lim_{x \to + \infty} f (x) = a$ 且 $lim_{x \to - \infty} f (x) = a$ ，那么就说当 $x$ 趋于无穷大时，函数 $f (x)$ 的极限为 $a$ ，记作 $lim_{x \to \infty} f (x) = a$ ．对于常数函数 $f (x) = C (x \in R)$ ， $lim_{x \to \infty} f (x) = C$ ．

2、当时 $x \to x_{0}$ ，函数 $f (x)$ 的极限
当自变量 $x$ 无限趋近于常数 $x_{0}$ (但不等于 $x_{0}$ )时，如果函数 $f (x)$ 无限趋近于一个常数 $a$ ，就说当 $x$ 趋近于 $x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 的极限是 $a$ ，作 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = a$ ．设 $C$ 为常数，则 $lim_{x \to x_{0}} C = C$

3、函数的左、右极限
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = a \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = a$

4、函数极限的四则运算法则

如果 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = a$ ， $lim_{x \to x_{0}} g (x) = b$ ，那么 $lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = a \pm b$ ； $lim_{x \to x_{0}} [f (x) \cdot g (x)] = a \cdot b$ ； $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{a}{b} (g (x) \neq 0)$ ； $lim_{x \to x_{0}} [C f (x)] = C \cdot a$ ( $C$ 是常数)； $lim_{x \to x_{0}} {[f (x)]}^{n} = a^{n}$

5、连续函数的定义
函数 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处连续的定义：

如果函数 $y = f (x)$ 在，而且 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ ，就称函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续．
说明：由定义可知， $y = f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的要求是：

① $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处有定义；

② $lim_{x \to x_{0}} f (x) 存在；$

③ $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$

6、连续函数的性质
(最大值最小值定理)如果 $f (x)$ 是闭区间 $[a ， b]$ 的连续函数，，那么 $f (x)$ 在闭区间 $[a ， b]$ 上有最大值和最小值．

    应用举例
    一、应用特点
    1、运用函数极限的四则运算法则求极限
    2、理解函数极限概念并会判断变化趋势
    3、讨论分段函数在端点处的极限

二、案例示范
回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范

1、求下列各式的极限：

(1) $lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ 的值等于______

(2) $lim_{x \to - 2} (\frac{4}{4 - x^{2}} - \frac{1}{2 + x}) =$ ______

提示

示范

当

f (x)

在

x_{0}

处连续可直接代入

x_{0}

，形如“

\frac{0}{0}

型”的极限，应通过有理化或因式分解约去“零因子”．

解:(1) $lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 1}$

= $lim_{x \to - 1} \frac{(x + 1) \cdot (x + 2)}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$

= $lim_{x \to - 1} \frac{x + 2}{x - 1}$

= $- \frac{1}{2}$

(2) $lim_{x \to - 2} (\frac{4}{4 - x^{2}} - \frac{1}{2 + x})$

= $lim_{x \to - 2} \frac{1}{2 - x}$

= $\frac{1}{4}$

评注:对“ $\frac{0}{0}$ ”型极限计算的一种模式：对分子、分母作适当变形、分解或有理化，约去致使分母为 $0$ 的公因式，然后再求极限．这里的关键是变形、分解或有理化，应注意对相关知识与技能的运用．

2、设 $f (x) = \frac{4 x^{2} + 3}{x - 1} + a x + b$ ，若 $lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ ，试确定 $a$ 与 $b$ 的值

提示

示范

直接从

f (x)

的表达式上看极限似乎不存在，但由

lim_{x \to \infty} f (x) = 0

可知

f (x)

的表达式通分变形后必是分子次数小于分母次数，即分子必为常数，从这里出发解此题便不难了．

解: $∵$ $lim_{x \to \infty} f (x) = 0$

即 $lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} + 3}{x - 1} + a x + b = lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} + 3 + a x^{2} - a x + b x - b}{x - 1}$

= $lim_{x \to \infty} \frac{(4 + a) x^{2} + (b - a) x + 3 - b}{x - 1} = 0$

因为当 $x \to \infty$ 时，分母为无穷大，只有使分子为有限数，才能使上式成立．这时必须使 $4 + a = 0$ 及 $b - a = 0$ ，即 $a = - 4 ， b = - a$

评注:如果已知函数的极限，而函数表达式中含有待定的常数，要求把待定常数求出来的问题叫做极限反问题．这类问题主要涉及对极限概念的理解．

3、求函数 $f (x) = {\begin{cases} \frac{1 - cos x}{x} & x > 0 \\ 1 & x = 0 \\ \frac{x^{2}}{tan x} & x < 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的左极限、右极限，并指出 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的极限是否存在？

提示

示范

本题主要考查分段函数在端点

x = 0

处的左、右极限的求法及函数在某点存在极限的充要条件

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a

．

解: $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{tan x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{sin x} \cdot x \cdot cos x = 0$

$lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - cos x}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 {sin}^{2} \frac{x}{2}}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{sin (\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} \cdot sin (\frac{x}{2}) = 1 \times 0 = 0$

$∵ lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0$

$∴ lim_{x \to 0} f (x) = 0$

评注:利用重要极限 $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ ，解题时关键在“凑形”，凑出 $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}$ 的形式，要注意正弦中角的结构与分母的结构要一致．

实践体验
在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高

1、求下列函数的极限：

(1) $lim_{x \to + \infty} \frac{4^{x}}{4^{x} - 1}$

(2) $lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x})$

(3) $lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} - 5 x}{1 - 3 x - x^{4}}$

(4) $lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3}{x^{2} - 5}$

提示

示范

解:(1) $lim_{x \to + \infty} \frac{4^{x}}{4^{x} - 1}$

= $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{4^{x}}}$

= $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{1 - {(\frac{1}{4})}^{x}}$

= $\frac{1}{1 - lim_{x \to + \infty} \frac{1}{4^{x}}}$

= $1$

(2) $lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 4 x})$

= $lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 4 x}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x}}$

= $lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{- x} - 4}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{4}{x}}}$

= $- 2$

(3) $lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} - 5 x}{1 - 3 x - x^{4}}$

= $lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} - \frac{3}{x^{3}} - 1}$

= $- 5$

(4) $lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3}{x^{2} - 5}$

= $lim_{x \to 2} \frac{4 + 3}{4 - 5}$

= $- 7$

评注:对于(1) $a^{x}$ 要分清 $a > 1$ 或 $0 < a < 1$ ；对于(2)同除以 $x$ 时，要注意正、负号；对于(3)要注意区分 $x \to + \infty$ ， $x \to - \infty$ ， $x \to \infty$ ；对于(4)当分子、分母极限存在且分母的极限值不为零时，则极限值就是把 $x = x_{0}$ 代入函数解析式中得到的函数值．

2、设 $f (x) = {\begin{cases} x - 1 & 0 < x \leq 1 \\ 2 - x & 1 < x \leq 3 \end{cases}$

(1)求 $f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的左、右极限，在点 $x = 1$ 处 $f (x)$ 的极限是否存在？

(2) $f (x)$ 在点 $x = 1$ 处是否连续？

(3)求函数 $f (x)$ 的连续区间

(4)求 $lim_{x \to \frac{1}{2}} f (x)$ 、 $lim_{x \to 2} f (x)$

提示

示范

解:(1) $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} (x - 1) = 0$

$lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} (2 - x) = 1$

$∵$ $lim_{x \to 1^{-}} f (x) \neq lim_{x \to 1^{+}} f (x)$

$∴$ $lim_{x \to 1^{□}} f (x)$ 不存在

(2)由于 $f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的极限不存在，故 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处不连续

(3)函数的连续区间是 $(0 ， 1]$ ， $(1 ， 3]$

(4) $∵$ 点 $x = \frac{1}{2}$ ， $x = 2$ 均在函数的连续区间内，

$∴$ $lim_{x \to \frac{1}{2}} f (x) = lim_{x \to \frac{1}{2}} (x - 1) = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$

$lim_{x \to 2} f (x) = lim_{x \to 2} (2 - x) = 2 - 2 = 0$

评注:函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处不存在极限时，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处一定不连续，但反之不一定正确．

拓展探究
1、设函数 $f (x) = {\begin{cases} e^{x} & x < 0 \\ a + x & x \geq 0 \end{cases}$ 应怎样选择 $a$ ，使得 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续

提示

示范

解: $∵ lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} e^{x} = e^{0} = 1$ ，

$lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} (a + x) = a$

又 $f (0) = a$

$∴$ 当 $x = 0$ 处连续

评注:要使 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续 $\Leftrightarrow$ $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ ，由此确定参数值；在解决分段函数在某一点处的连续性问题时，往往要用到函数在某一点处连续的充要条件．

基础训练

1、 $lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$ 的值是( )

A. $12$ B. $8$ C. $2$ D. $1$
2、已知 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{4^{x} + 1}$ ，则下列结论正确的是( )

A. $lim_{x \to - \infty} f (x) = 1$ B. $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ C. $lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ D. $lim_{x \to 0} f (x) = 1$

3、 $lim_{x \to 1} (\frac{2}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1})$ 等于( )

A. $- 1$ B. $0$ C. $1$ D. $2$
4、若 $lim_{x \to \infty} \frac{a x^{4} - b x}{2 - 5 x - 2 x^{4}} = \frac{2}{3}$ ，则常数 $a$ 、 $b$ 的值是( )

A. $a = b = \frac{4}{3}$ B. $a = b = \frac{2}{3}$ C. $a = - \frac{3}{4} ， b \in R$ D. $a = - \frac{4}{3} ， b \in R$

5、 $lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) - 1}{x}$ =______

    6、 $lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{\sqrt{x + 1} - 1}$ =______
    7、 $lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ =______
    8、若 $lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} + 1}{x + 1} + a x + b) = 0$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值．

参考答案

1、 $lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$ 的值是( )

A. $12$ B. $8$ C. $2$ D. $1$
2、已知 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{4^{x} + 1}$ ，则下列结论正确的是( )

A. $lim_{x \to - \infty} f (x) = 1$ B. $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ C. $lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ D. $lim_{x \to 0} f (x) = 1$

3、 $lim_{x \to 1} (\frac{2}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1})$ 等于( )

A. $- 1$ B. $0$ C. $1$ D. $2$
4、若 $lim_{x \to \infty} \frac{a x^{4} - b x}{2 - 5 x - 2 x^{4}} = \frac{2}{3}$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值是( )

A. $a = b = \frac{4}{3}$ B. $a = b = \frac{2}{3}$ C. $a = - \frac{3}{4} ， b \in R$ D. $a = - \frac{4}{3} ， b \in R$

5、 $lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) - 1}{x}$ =______

提高训练

    1、若 $lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} - 2 x - 3} = 5$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值分别是(   )
    A. $a = 14$ ， $b = - 51$      B. $a = - 14$ ， $b = 51$      C. $a = 14$ ， $b = 51$      D. $a = - 14$ ， $b = - 51$
    2、 $lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ =______
    3、已知 $lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + m x + 2}{x + 2} = n$ ，求 $m$ 、 $n$

4、解答下列各题：

(1)设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 是 $R$ 上的一个偶函数，且 $lim_{x \to 1} f (x) = 0$ ， $lim_{x \to - 2} f (x) = - 3$ ，求出这一函数的最大值

(2)已知 $f (x) = | a - x | + | b - x | (a < b)$

①求 $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ 、 $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ 和 $lim_{x \to a} f (x)$ ；

②若 $lim_{x \to {(\frac{a + b}{2})}^{-}} f (x) = 3$ ，且 $lim_{x \to {(\frac{a + b}{2})}^{+}} f (x) = 4 - a$ ，求实数 $a$ 、 $b$ 的值

参考答案

4、解答下列各题：

(1)设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 是 $R$ 上的一个偶函数，且 $lim_{x \to 1} f (x) = 0$ ， $lim_{x \to - 2} f (x) = - 3$ ，求出这一函数的最大值

(2)已知 $f (x) = | a - x | + | b - x | (a < b)$

①求 $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ 、 $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ 和 $lim_{x \to a} f (x)$ ；

②若 $lim_{x \to {(\frac{a + b}{2})}^{-}} f (x) = 3$ ，且 $lim_{x \to {(\frac{a + b}{2})}^{+}} f (x) = 4 - a$ ，求实数 $a$ 、 $b$ 的值

学习感悟
1、计算函数极限时要特别注意“ $lim$ ”号下面所表示的变量的变化趋势．

2、求函数极限类似数列极限，基本思路是“求和—变形—利用极限的运算法则求解”，关键在于恒等变形后，使用几个常见重要极限．

3、求极限的基本类型有三(请见数列极限一节)．求含参数式子的极限时，除了正确地运用相关概念外，有时需要对参数的值进行分类讨论．

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