§13.1.2 数学归纳法与数列的极限(2)

第十三章极限
§13.1.2 数学归纳法与数列的极限(2)

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

了解数列极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限．

二、重点难点
(这里输入)

三、特别提示
　

(1)应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法．

(2)证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设；然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论．

(3)证明三角恒等式时，常运用有关三角知识、三角公式，要掌握常用的三角变换方法．

(4)与正整数有关的不等式，有时也可用数学归纳法证明，在证明过程中，要运用不等式的性质．

(5)因为证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由 $n = k$ 时不等式成立推导 $n = k + 1$ 时不等式也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．

(6)数列的极限是描述数列在无限变化过程中的变化趋势的重要概念，“随着项数 $n$ 的无限增大，数列的项 $a_{n}$ 无限地趋近某个常数 $a$ 有两个方面的含义：一是过程性，即数列的项 $a_{n}$ 趋近于 $a$ 是在无限过程中进行的，也即随着 $n$ 的增大， $a_{n}$ 越来越接近于 $a$ ；二是无限性，即 $a_{n}$ 不是一般地接近于 $a$ ，而是“无限”地趋近于 $a$ ，也即 $| a_{n} - a |$ 随 $n$ 的无限增大而无限地趋近于 $0$ ．

(7)在运用数列极限的四则运算法则时要注意：

①参加运算的各数列的极限必须存在；

②作为除式的数列及其极限必须不为 $0$ ；

③运算法则仅适用于求有限项的极限，而不适用于无限项的情况；

④当一个极限运算成立时，它的逆运算不一定成立，例如： $lim_{n \to \infty} (a_{n} \pm b_{n})$ 存在，并不一定有 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ 与 $lim_{n \to \infty} b_{n}$ 都存在．

(8)求 $lim_{n \to \infty} q^{n}$ 时，不可忽视对 $q$ 的分类讨论．

知识梳理

1、由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法．

2、数学归纳法
(1)当 $n$ 取第一个值 $n_{0}$ (例如 $n = 1$ )时，证明命题成立；

(2)假设当 $n = k (k \in N^{\cdot} ， k \geq n_{0})$ 时命题成立，并证明当 $n = k + 1$ 时，命题也成立，于是命题对一切 $n \in N^{\cdot}$ ， $n \geq n_{0}$ ，命题都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

运用数学归纳法证明命题要分为两步，第一步是递推的，第二步是递推的，这两步是缺一不可的．
　

3、数列极限的四则运算法则
如果 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ， $lim_{n \to \infty} b_{n} = b$ ，那么 $lim_{n \to \infty} (a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b$ ； $lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b$ ； $lim_{n \to \infty} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b} (b_{n} \neq 0)$ ．特别地，如果 $C$ 是常数，那么 $lim_{n \to \infty} (C \cdot a_{n}) = C \cdot a$
　

4、常用的数列的极限
(1)若 $C$ 为常数， $lim_{n \to \infty} C = C$
(2) $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0$ (其中 $k > 0$ 为常数)
(3)若 $| q | < 1$ ， $q$ 为常数，则 $lim_{n \to \infty} q^{n} = 0$

    应用举例
    一、应用特点
    1、数列极限定义，求无穷等比数列各项和
    2、用不同的方法求数列与数列和的极限
    3、数列极限的综合应用

二、案例示范
回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范

1、数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，已知 $a_{n} = 5 S_{n} - 3 (n \in N^{\cdot})$ ，求 $lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1})$ 的值

提示

示范

为求

a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1}

的值、当

n \to \infty

时的极限，应先求出

a_{n}

的表达式，从巳知条件中给出

a_{n}

与

S_{n}

的关系式，可以利用

S_{n} - S_{n - 1} = a_{n} (n \geq 2)

，设法求出

a_{n}

的表达式．

解:由 $a_{1} = S_{1}$ 及 $a_{1} = 5 S_{1} - 3 ＝ 5 a_{1} - 3$ ，可得 $a_{1} = \frac{3}{4}$ ，又 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ ，则 $a_{n} = 5 S_{n} - 3$ ， $a_{n - 1} = 5 S_{n - 1} - 3$

$∴ a_{n} - a_{n - 1} = 5 a_{n}$ ，即 $a_{n} = - \frac{1}{4} a_{n - 1}$

于是数列 ${a_{n}}$ 是以 $\frac{3}{4}$ 为首项，公比为 $- \frac{1}{4}$ 的无穷等比数列，进而可得 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ，…， $a_{2 n - 1}$ ，…，是以 $a_{1} = \frac{3}{4}$ 为首项，公比为 $q = {(- \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16}$ 的无穷等比数列

于是可求出极限 $lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1}) = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

评注:对于考查等比数列和数列极限等基础知识的题，借用 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n \geq 2)$ 这个关系求出 $a_{n}$ 的递推式．该类题型是近几年来高考的热点．

2、 $lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{4}{5} - \frac{6}{7}) + (\frac{4}{5^{2}} - \frac{6}{7^{2}}) + \dots + (\frac{4}{5^{n}} - \frac{6}{7^{n}})}{(\frac{5}{6} - \frac{4}{5}) + (\frac{5}{6^{2}} - \frac{4}{5^{2}}) + \dots + (\frac{5}{6^{n}} - \frac{4}{5^{n}})} =_{_}__{_}_$

提示

示范

解: $lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{4}{5} - \frac{6}{7}) + (\frac{4}{5^{2}} - \frac{6}{7^{2}}) + \dots + (\frac{4}{5^{n}} - \frac{6}{7^{n}})}{(\frac{5}{6} - \frac{4}{5}) + (\frac{5}{6^{2}} - \frac{4}{5^{2}}) + \dots + (\frac{5}{6^{n}} - \frac{4}{5^{n}})}$ = $lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{4}{5} + \frac{4}{5^{2}} + \dots + \frac{4}{5^{n}}) - (\frac{6}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \dots + \frac{6}{7^{n}})}{(\frac{5}{6} + \frac{5}{6^{2}} + \dots + \frac{5}{6^{n}}) - (\frac{4}{5} + \frac{4}{5^{2}} + \dots + \frac{4}{5^{n}})}$

= $lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\frac{4}{5} [1 - {(\frac{1}{5})}^{n}]}{1 - \frac{1}{5}} - \frac{\frac{6}{7} [1 - {(\frac{1}{7})}^{n}]}{1 - \frac{1}{7}}}{\frac{\frac{5}{6} [1 - {(\frac{1}{6})}^{n}]}{1 - \frac{1}{6}} - \frac{\frac{4}{5} [1 - {(\frac{1}{5})}^{n}]}{1 - \frac{1}{5}}}$ = $lim_{n \to \infty} \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} - {(\frac{1}{7})}^{n}}{{(\frac{1}{6})}^{n} - {(\frac{1}{5})}^{n}}$

= $lim_{n \to \infty} \frac{1 - {(\frac{5}{7})}^{n}}{{(\frac{5}{6})}^{n} - 1}$

= $- 1$

评注:求无穷项和的极限，应注意先集项求和，再求极限．

3、已知直线 $l ： x - n y = 0 (n \in N)$ ，圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ ，抛物线 $ϕ ： y = {(x - 1)}^{2}$ ，又 $l$ 与 $M$ 交于点 $A$ 、 $B$ ， $l$ 与 $ϕ$ 交于点 $C$ 、 $D$ ，求 $lim_{n \to \infty} (\frac{{| A B |}^{2}}{{| C D |}^{2}})$

提示

示范

要求

lim_{n \to \infty} (\frac{{| A B |}^{2}}{{| C D |}^{2}})

的值，必先从寻找到它与

n

的关系出发．

解:如图所示，设圆心 $M (- 1 ， - 1)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d^{2} = \frac{{(- 1 + n)}^{2}}{1 + n^{2}}$ ，

因为圆 $M$ 半径为 $1$ ，又 ${| A B |}^{2} = 4 (1 - d^{2}) = \frac{8 n}{1 + n^{2}}$ ，

设点 $C$ 的坐标为 $(x_{1} ， y_{1})$ ，点 $D$ 的坐标 $(x_{2} ， y_{2})$ ，

由 ${\begin{cases} x - n y = 0 \\ y = {(x - 1)}^{2} \end{cases} \Rightarrow n x^{2} - (2 n + 1) x + n = 0$

$∴ x_{1} + x_{2} = \frac{2 n + 1}{n}$ ， $x_{1} x_{2} = 1$

$∵ {(x_{1} - x_{2})}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = \frac{4 n + 1}{n^{2}}$ ，

${(y_{1} - y_{2})}^{2} = {(\frac{x_{1}}{n} + \frac{x_{2}}{n})}^{2} = \frac{4 n + 1}{n^{4}}$

$∴ {| C D |}^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} = \frac{1}{n^{4}} (4 n + 1) (n^{2} + 1)$

$∴ lim_{n \to \infty} (\frac{{| A B |}^{2}}{{| C D |}^{2}}) = lim_{n \to \infty} \frac{8 n^{5}}{(4 n + 1) {(n^{2} + 1)}^{2}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{8}{(4 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n^{2}})} = 2$

评注:对于属于解析几何与数列极限的综合题，要求极限，需先求弦长等，然后用 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ 求解．

实践体验
在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高

    1、用数学归纳法证明 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) \times 2 n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n}$

    提示示范　

    用数学归纳法证明的三步骤缺一不可，特别是证明 $n = k + 1$ 成立时，一定要用到 $n = k$ 时，假设成立的条件

    证明:(1)当 $n = 1$ 时，左边 $= \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$ ；右边 $= \frac{1}{2}$ ，所以当 $n = 1$ 时等式成立；

    (2)假设当 $n = k$ 时，等式成立，即 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) \times 2 k} = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \dots + \frac{1}{k + k}$ ，则当 $n = k + 1$ 时，

     $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) \times 2 k} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 2)}$

    = $\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \dots + \frac{1}{k + k} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 2)}$

    = $\frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + \dots + \frac{1}{k + k} + \frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2} + \frac{1}{k + 1}$

    = $\frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + \dots + \frac{1}{k + k} + \frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$

    = $\frac{1}{(k + 1) + 1} + \frac{1}{(k + 1) + 2} + \dots + \frac{1}{(k + 1) + k} + \frac{1}{(k + 1) + (k + 1)}$

    即当 $n = k + 1$ 时，等式也成立．

    根据(1)(2)，可知对一切 $n \in N^{\cdot}$ ，等式都成立．


    评注:(1)用数学归纳法证明恒等式有两种具体形式：一是直接给出等式进行证明；二是由条件通过观察、归纳、猜想得出等式，然后再证明．
    (2)用数学归纳法证明恒等式关键在第二步，即如何由 $n = k$ 过渡到 $n = k + 1$ ，比较容易出错的两个地方是：一是在证 $n = k + 1$ 成立时没用上归纳假设，而直接进行综合证明；二是在由 $n = k$ 推广到 $n = k + 1$ 时不清楚式子添加多少项．在具体证明 $n = k + 1$ 成立时，一般分两步走：第一步是将 $n = k + 1$ 的原式整理，构造出与归纳假设结构相同的部分——凑假设；第二步是利用了归纳假设后，再对式子整理变形，得到所需要的形式——凑结论，经过这两个过程的运算可以证明 $n = k + 1$ 时命题成立．

2、求下列极限：

(1) $lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} + 1}{3 n^{2} + 2 n}$

(2) $lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2} + 3 n} - \sqrt{n^{2} + 4 n})$

(3) $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{4}{n^{2}} + \frac{7}{n^{2}} + \dots + \frac{3 n - 2}{n^{2}})$

(4) $lim_{n \to \infty} \frac{2 {sin}^{n} α + 3 {cos}^{n} α}{{sin}^{n} α + {cos}^{n} α}$ ， $α \in [0 ， \frac{π}{2}]$

提示

示范

解:(1) $lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} + 1}{3 n^{2} + 2 n}$ = $lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n^{2}}}{3 + \frac{2}{n}} = \frac{2 + 0}{3 + 0} = \frac{2}{3}$

(2) $lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2} + 3 n} - \sqrt{n^{2} + 4 n})$

= $lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 3 n - n^{2} - 4 n}{\sqrt{n^{2} + 3 n} + \sqrt{n^{2} + 4 n}}$

= $lim_{n \to \infty} \frac{- \frac{n}{n}}{\sqrt{\frac{n^{2} + 3 n}{n^{2}}} + \sqrt{\frac{n^{2} + 4 n}{n^{2}}}}$

= $lim_{n \to \infty} \frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + \sqrt{1 + \frac{4}{n}}}$

= $- \frac{1}{2}$

(3) $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{4}{n^{2}} + \frac{7}{n^{2}} + \dots + \frac{3 n - 2}{n^{2}})$

= $lim_{n \to \infty} \frac{n (3 n - 1)}{2 n^{2}}$

= $lim_{n \to \infty} \frac{3 n - 1}{2 n}$

= $\frac{3}{2}$

(4)当 $α = \frac{π}{4}$ 时，原式 $= \frac{5}{2}$

当 $0 \leq α < \frac{π}{4}$ 时， $0 \leq tan α < 1$

$∴$ 原式 $= lim_{n \to \infty} \frac{2 {tan}^{n} α + 3}{{tan}^{n} α + 1} = \frac{2 \times 0 + 3}{0 + 1} = 3$

当 $\frac{π}{4} < α \leq \frac{π}{2}$ 时， $0 \leq cot α < 1$

$∴$ 原式 $= lim_{n \to \infty} \frac{2 + 3 {cot}^{n} α}{1 + {cot}^{n} α} = \frac{2 + 3 \times 0}{1 + 0} = 2$

评注:若求无穷项和的极限一般先求出前 $n$ 项和的化简,再求极限；求有关三角函数式的极限时，要注意对角的范围的讨论．

拓展探究
1、用数学归纳法证明对于一切大于 $1$ 的自然数 $n$ ，不等式 $(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{5}) \dots (1 + \frac{1}{2 n - 1}) > \frac{\sqrt{2 n + 1}}{2}$ 成立．

提示

示范

证明:(1)当 $n = 2$ 时，左边 $= 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ ；右边 $= \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，左边 $>$ 右边，所以当 $n = 2$ 时等式成立．

(2)假设当 $n = k$ 时，等式成立，即 $(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{5}) \dots (1 + \frac{1}{2 k - 1}) > \frac{\sqrt{2 k + 1}}{2}$ ，则当 $n = k + 1$ 时，

$(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{5}) \dots (1 + \frac{1}{2 n - 1}) [1 + \frac{1}{2 (k + 1) - 1}]$

$>$ $\frac{\sqrt{2 k + 1}}{2} \cdot \frac{2 k + 2}{2 k + 1} = \frac{2 k + 2}{2 \sqrt{2 k + 1}}$

$= \frac{\sqrt{4 k^{2} + 8 k + 4}}{2 \sqrt{2 k + 1}}$

$>$ $\frac{\sqrt{4 k^{2} + 8 k + 3}}{2 \sqrt{2 k + 1}}$

$= \frac{\sqrt{2 k + 3} \cdot \sqrt{2 k + 1}}{2 \cdot \sqrt{2 k + 1}}$

$= \frac{\sqrt{2 (k + 1) + 1}}{2}$

即当 $n = k + 1$ 时，等式也成立．

根据(1)(2)，可知对一切大于 $1$ 的自然数 $n$ ，不等式都成立．

评注:(1)用数学归纳法证明与 $n$ 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求进行比较它们的大小．对第二类形式往往先对 $n$ 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个 $n$ 值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．

(2)在证明 $n = k + 1$ 成立时，也要注意必须利用上归纳假设和明确式子一侧的添加项的数目，具体步骤同证明等式一样分两步走，即先设假设，再设结论．

基础训练

    1、若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = \frac{3^{- n} + 2^{- n} + {(- 1)}^{n} (3^{- n} - 2^{- n})}{2}$ ， $n = 1 ， 2 ， \dots$ ，则 $lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})$ 等于(   )
    A. $\frac{11}{24}$      B. $\frac{17}{24}$      C. $\frac{19}{24}$      D. $\frac{25}{24}$
    2、 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} + a_{2} = 12$ ， $a_{2} + a_{3} = - 6$ ， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ，那么 $lim_{n \to \infty} S_{n}$ 等于(   )
    A. $8$       B. $16$       C. $32$      D. $48$
    3、等比数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = - 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{10}}{S_{5}} = \frac{31}{32}$ ，则 $lim_{n \to \infty} S_{n}$ 等于(   )
    A. $\frac{2}{3}$       B. $- \frac{2}{3}$      C. $2$       D. $- 2$
    4、一无穷等比数列首项为 $2$ ，公比为负数，各项和为 $S$ ，则有(   )
    A. $0 < S < 1$      B. $1 < S < 2$      C. $0 < S < 2$      D. $S < 2$

5、 $lim_{n \to \infty} \frac{1 + 3 + \dots + (2 n － 1)}{2 n^{2} - n - 1} =$ ______

6、 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} (\sqrt{n + a} - \sqrt{n})} = 1$ ，则常数 $a =$ ______
7、已知函数 $f (x) = a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{n} x^{n} (n \in N^{\cdot})$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n}$ 构成一个数列 ${a_{n}}$ ，满足 $f (1) =$ $n^{2}$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并求 $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ 的值

8、已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = - 9$ ， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 18$ ，求 $lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{n^{2}}$

参考答案

5、 $lim_{n \to \infty} \frac{1 + 3 + \dots + (2 n － 1)}{2 n^{2} - n - 1} =$ ______

8、已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = - 9$ ， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 18$ ，求 $lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{n^{2}}$

提高训练

    1、 $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n + 1} - \frac{2}{n + 1} + \frac{3}{n + 1} + \dots + \frac{2 n - 1}{n + 1} - \frac{2 n}{n + 1})$ 的值为(   )
    A. $- 1$       B. $0$       C. $\frac{1}{2}$       D. $1$
    2、计算： $lim_{n \to \infty} \frac{C_{n}^{3}}{n^{3} + 1} =$ ______
    3、设首项为 $a$ ，公差为 $d$ 的等差数列的前 $n$ 项和 $A_{n}$ ，又首项为 $a$ ，公比为 $r$ 的等比数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $| r | < 1$ ．若有 $lim_{n \to \infty} (\frac{A_{n}}{n} - S_{n}) = - \frac{3}{2} a$ ，求 $r$ 的值
    4、如图，在边长为 $l$ 的等边 $△ A B C$ 中，圆 $O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的内切圆，圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{1}$ 外切，且与 $A B$ 、 $B C$ 相切，…，圆 $O_{n + 1}$ 与圆 $O_{n}$ 外切，且与 $A B$ 、 $B C$ 相切，如此无限继续下去，记圆 $O_{n}$ 的面积为 $a_{n}$ $(n \in N^{\cdot})$

(1)证明 ${a_{n}}$ 是等比数列

(2)求 $lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})$

参考答案

(1)证明 ${a_{n}}$ 是等比数列

(2)求 $lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})$

学习感悟
1、求极限的基本思路是“求和—变形—利用极限的运算法则求解”．计算的关键在于恒等变形，首先需根据式子的结构特征确定变形的方向，创造运用基本极限的条件，从而解决问题．

2、常见的极限的类型和方法：(1) $\frac{0}{0}$ 型：分子分母通过分别求和化简等手段转化；(2) $\frac{\infty}{\infty}$ 型：分子分母同时除以 $n$ 的最高次幂等化简转化；(3)已知极限值定参数：用待定系数法．

3、要注意极限运算法则的使用范围，特殊极限的使用条件，以及极限思想在实际问题中的应用．

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