证明:(1)当`n=1`时，`1^3+5xx1`=6`，命题显然成立；

    (2)假设当`n=k`时，`k^3+5k`能被`6`整除；

    由于`(k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5=(k^3+5k)+3k(k+1)+6`，其中两个连续自然数之积的`3`倍能被`6`整除，`k^3+5k`、`3k(k+1)`、`6`分别能被`6`整除，所以当`n=k+1`时命题也成立．

    据(1)(2)，可知对于任意`ninN^*`,命题都成立．

    评注:从`n=k`到`n=k+1`时，常将`P(k+1)`分解成两部分式子和，一部分用归纳假设，一部分提取公因式，此公因式常为除式．

    解:(1)将条件变为`1-n/a_n=1/3(1-(n-1)/a_(n-1))`，因此`{1-n/a_n}`为一个等比数列 ．其首项为`1-1/a_1=1/3`，公比为`1/3`，从而`1-n/a_n=1/3^n`，据此得`a_n=(n·3^n)/(3^n-1)(n>=1)`     ①
　

    (2)证明：据①得，`a_1·a_2·…·a_n=(n!)/((1-1/3)(1-1/3^2)…(1-1/3^n))`

    为证`a_1·a_2·…·a_n<2·n!`，只要证`ninN^*`时有`(1-1/3)(1-1/3^2)…(1-1/3^n)>1/2`     ②

    显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个`ninN^*`，

    有`(1-1/3)(1-1/3^2)…(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+…+1/3^n)`                    ③

    用数学归纳法证明③式：

    (`i`)当`n=1`时，③式显然成立；

    (`ii`)假设当`n=k`时，③式成立；即`(1-1/3)(1-1/3^2)…(1-1/3^k)>=1-(1/3+1/3^2+…+1/3^k)`

    则当`n=k+1`时，

    `(1-1/3)(1-1/3^2)…(1-1/3^k)(1-1/3^(k+1))`

    `>=[1-(1/3+1/3^2+…+1/3^k)](1-1/3^(k+1))`

    `=1-(1/3+1/3^2+…+1/3^k)-1/3^(k+1)+1/3^(k+1)(1/3+1/3^2+…+1/3^k)`

    `>=1-(1/3+1/3^2+…+1/3^k+1/3^(k+1))

    即当`n=k+1`时，③式也成立 ．故对一切`ninN^*`，③式都成立．

    利用③得，`(1-1/3)(1-1/3^2)…(1-1/3^n)`

    `>=1-(1/3+1/3^2+…+1/3^n)`

    `=1-(1/3[1-(1/3)^n])/(1-1/3)`

    `=1-1/2[1-(1/3)^n]`

    `=1/2+1/2(1/3)^n`

    `>1/2`

    故②式成立，从而结论成立．

    评注:利用数学归纳法证明与不等式相关的式子时，通常要将不等式的证明方法，如：分析法、综合法、放缩法结合使用．

    解:当`n=1`时，显然`f(1)=2`；
    当`n=2`时，`f(2)=2+2=4`；
    当`n=3`时，`f(3)=4+3=7`；
    当`n=4`时，`f(4)=f(3)+4=11`，
    由此猜想：`f(n)=f(n-1)+n`，
    把`n`取`2，3，4，…，n`所得的`n-1`个式子累加，得`f(n)=2+2+3+4+…+n=1+1/2n(n+1)`，

    即`f(n)=1/2n(n+1)+1`
    下面证明:
    (1)当`n=1`时，`f(1)=1/2xx1xx(1+1)+1=2`，结论显然成立；
    (2)假设`n=k`时，结论成立，即平面内满足条件的`k`条直线把平面分成的区域个数为`f(k)=1/2k(k+1)+1`，则当`n=k+1`时，第`k+1`条直线与前`k`条直线有`k`个交点，这`k`个交点将第`k+1`条直线分成`k+1`段，而每一段又将它所在区域一分为二，这样`f(k+1)`比`f(k)`多`k+1`
    `:.``f(k+1)=f(k)+k+1=1/2k(k+1)+1+k+1=1/2(k+1)·(k+2)+1`
    `:.`当`n=k+1`时，结论成立
    由(1)(2)，知对任意`ninN^*`结论都成立
    `:.``f(n)=1/2n(n+1)+1`

    评注:将平面分割问题进行转化，转化为直线的分割问题后，再进行归纳．

    解:(1)`lim_(n->oo)(2n^2+1)/(3n^2+2n)`=`lim_(n->oo)(2+1/n^2)/(3+2/n)=(2+0)/(3+0)=2/3`

    (2)`lim_(n->oo)(sqrt(n^2+3n)-sqrt(n^2+4n))`

    =`lim_(n->oo)(n^2+3n-n^2-4n)/(sqrt(n^2+3n)+sqrt(n^2+4n))`

    =`lim_(n->oo)(-n/n)/(sqrt((n^2+3n)/n^2)+sqrt((n^2+4n)/n^2))`

    =`lim_(n->oo)(-1)/(sqrt(1+3/n)+sqrt(1+4/n))`

    =`-1/2`

    (3)`lim_(n->oo)(1/n^2+4/n^2+7/n^2+…+(3n-2)/n^2)`

    =`lim_(n->oo)(n(3n-1))/(2n^2)`

    =`lim_(n->oo)(3n-1)/(2n)`

    =`3/2`

    (4)当`alpha=pi/4`时，原式`=5/2`

    当`0<=alpha<pi/4`时，`0<=tanalpha<1`

    `:.`原式`=lim_(n->oo)(2tan^nalpha+3)/(tan^nalpha+1)=(2xx0+3)/(0+1)=3`

    当`pi/4<alpha<=pi/2`时，`0<=cotalpha<1`

    `:.`原式`=lim_(n->oo)(2+3cot^nalpha)/(1+cot^nalpha)=(2+3xx0)/(1+0)=2`

    评注:若求无穷项和的极限一般先求出前`n`项和的化简,再求极限；求有关三角函数式的极限时，要注意对角的范围的讨论．

    证明:(1)当`n=2`时，左边`=1+1/3=4/3`；右边`=sqrt5/2`，左边`>`右边，所以当`n=2`时等式成立．

    (2)假设当`n=k`时，等式成立，即`(1+1/3)(1+1/5)…(1+1/(2k-1))>sqrt(2k+1)/2`，则当`n=k+1`时，

    `(1+1/3)(1+1/5)…(1+1/(2n-1))[1+1/(2(k+1)-1)]`

    `>``sqrt(2k+1)/2·(2k+2)/(2k+1)=(2k+2)/(2sqrt(2k+1))`

    `=sqrt(4k^2+8k+4)/(2sqrt(2k+1))`

    `>``sqrt(4k^2+8k+3)/(2sqrt(2k+1))`

    `=(sqrt(2k+3)·sqrt(2k+1))/(2·sqrt(2k+1))`

    `=sqrt(2(k+1)+1)/2`

    即当`n=k+1`时，等式也成立．

    根据(1)(2)，可知对一切大于`1`的自然数`n`，不等式都成立．

    评注:(1)用数学归纳法证明与`n`有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求进行比较它们的大小．对第二类形式往往先对`n`取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个`n`值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．

    (2)在证明`n=k+1`成立时，也要注意必须利用上归纳假设和明确式子一侧的添加项的数目，具体步骤同证明等式一样分两步走，即先设假设，再设结论．

    1、用数学归纳法证明：`1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)(ninN^*)`，则从`k`到`k+1`时左边应添加的项为(   )

    A.`1/(2k+1)`     B.`1/(2k+2)-1/(2k+4)`     C.`-1/(2k+2)`     D.`1/(2k+1)-1/(2k+2)`   
    2、用数学归纳法证明：`1+1/2+1/3+…+1/2^n>G(n)(ninN^*)`时，则从`k`到`k+1`时左边应添加的项为(   )

    A.`1`         B.`2`         C.`k`         D.`2^k`

    3、下列代数式中能被`9`整除的是(   )

    A.`6+6·7^k`    B.`2+7^(k+1)`    C.`2(2+7^(k+1))`    D.`3(2+7^k)`
    4、凸`k`边形内角和为`f(k)`，则凸`k+1`边形内角和为(   )

    A.`f(k)+pi`    B.`f(k)+2pi`    C.`f(k)+3pi`    D.`f(k)+4pi`

    5、用数学归纳法证明：`1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(n+n)>=11/24(ninN^*)`，则从`n=k`到`n=k+1`时左边应添加的项是______

    6、数列`{a_n}`中，`S_n=2-a_n(ninN^*)`，则前四项依次是______，猜想得`a_n=`______
    7、观察下列式子：`1+1/2^2<3/2`，`1+1/2^2+1/3^2<5/3`，`1+1/2^2+1/3^2+1/4^2<7/4`，…，则可归纳出______
    8、已知函数`f(x)=sqrt(x^2-25)(x<=-5)`，若`a_1=1`，`a_n=-f^(-1)(a_(n-1))`，猜想`{a_n}`的表达式，并用数学归纳法证明之．

    1、用数学归纳法证明：`1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)(ninN^*)`，则从`k`到`k+1`时左边应添加的项为(   )

    A.`1/(2k+1)`     B.`1/(2k+2)-1/(2k+4)`     C.`-1/(2k+2)`     D.`1/(2k+1)-1/(2k+2)`   
    2、用数学归纳法证明：`1+1/2+1/3+…+1/2^n>G(n)(ninN^*)`时，则从`k`到`k+1`时左边应添加的项为(   )

    A.`1`         B.`2`         C.`k`         D.`2^k`

    3、下列代数式中能被`9`整除的是(   )

    A.`6+6·7^k`    B.`2+7^(k+1)`    C.`2(2+7^(k+1))`    D.`3(2+7^k)`
    4、凸`k`边形内角和为`f(k)`，则凸`k+1`边形内角和为(   )

    A.`f(k)+pi`    B.`f(k)+2pi`    C.`f(k)+3pi`    D.`f(k)+4pi`

    5、用数学归纳法证明：`1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(n+n)>=11/24(ninN^*)`，则从`n=k`到`n=k+1`时左边应添加的项是______

    6、数列`{a_n}`中，`S_n=2-a_n(ninN^*)`，则前四项依次是______，猜想得`a_n=`______
    7、观察下列式子：`1+1/2^2<3/2`，`1+1/2^2+1/3^2<5/3`，`1+1/2^2+1/3^2+1/4^2<7/4`，…，则可归纳出______
    8、已知函数`f(x)=sqrt(x^2-25)(x<=-5)`，若`a_1=1`，`a_n=-f^(-1)(a_(n-1))`，猜想`{a_n}`的表达式，并用数学归纳法证明之．

    1、某个命题与自然数有关，如果当`n=k(kinN^*)`时，该命题成立，那么可以推得`n=k+1`时该命题也成立，现已知`n=5`时该命题不成立，那么(   )
    A.`n=4`时该命题成立                      B.`n=6`时该命题不成立

    C.`n`为大于`5`的某个自然数时命题成立         D.以上答案均不对
    2、对任意`ninN^*`，`3^(4n+2)+a^(2n+1)`都能被`14`整除，则最小的自然数`a=`______
    3、已知数列`{a_n}`为等差数列，`{b_n}`为等比数列，且`a_1=b_1`，`a_2=b_2`，`a_1!=a_2`，对一切自然数`n(ninN^*)`恒有`a_n>0`，

    求证：当`n>2`时，`b_n>a_n`

    4、已知数列`{a_n}`满足`a_1=1`，`a_(n+1)=2a_n+1(ninN^*)`

    (1)求数列`{a_n}`的通项公式

    (2)若数列`{b_n}`满足`4^(b_1-1)4^(b_2-1)…4^(b_n-1)=(a_n+1)^(b_n)(ninN^*)`，证明：`{b_n}`是等差数列

    (3)证明：`n/2-1/3<a_1/a_2+a_2/a_3+…+a_n/a_(n+1)<n/2`