§7.4 圆的方程

第七章直线和圆的方程
§7.4 圆的方程

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.

二、重点难点

    三、特别提示
    1、由于圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质，恰当地运用这些性质能简化解析法的计算量；
    2、求圆的方程应注意根据所给条件，恰当选择方程的形式，用待定系数法求解；
    3、讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离和两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何特征较为简捷、实用．

    知识梳理
    1、圆的方程
    (1)标准方程：圆心为

C (a ， b)

，半径为

r

的圆的标准方程为

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

．
(2)一般方程：形如

x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0

的二元二次方程，当

D^{2} + E^{2} - 4 F > 0

时，叫圆的一般式方程，圆心坐标为

(- \frac{D}{2} ， - \frac{E}{2})

，半径为

\frac{1}{2} \sqrt[]{D^{2} + E^{2} - 4 F}

．
(3)参数方程：圆

x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)

的参数方程为

{\begin{cases} x = r cos θ \\ y = r sin θ \end{cases}

，

(θ

为参数)
圆

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

的参数方程为

{\begin{cases} x = a + r cos θ \\ y = b + r sin θ \end{cases}

，

(θ

为参数)．
2、直线和圆的位置关系
设直线

l : A x + B y + C = 0

和圆

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

，则圆心到直线的距离

d = \frac{| A a + B b + C |}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}}

．
(1)

l

与圆

C

相离

\Leftrightarrow d > r

；
(2)

l

与圆

C

相切

\Leftrightarrow d = r

；
(3)

l

与圆

C

相交

\Leftrightarrow d < r

．
3、圆的弦和切线
(1)圆的半径为

r

，直线

l

与圆相交于

A 、 B

，圆心到

l

的距离为

d

，则

| A B | = 2 \sqrt[]{r^{2} - d^{2}}

．
(2)过圆

x^{2} + y^{2} = r^{2}

上一点

M (x_{0} ， y_{0})

的切线方程为

x x_{0} + y y_{0} = r^{2}

．
4、点和圆的位置关系
设点P到圆心的距离为

d

，圆的半径为

r

，
(1)点P在圆外

\Leftrightarrow d > r

；
(2)点P在圆上

\Leftrightarrow d = r

；
(3)点P在圆内

\Leftrightarrow d < r

．
5、圆与圆的位置关系
如果两圆的半径分别为

R 、 r (R ＞ r)

，两圆心之间距离为

d

，
则两圆相离

\Leftrightarrow d > R + r

；外切

\Leftrightarrow d = R + r

；相交

\Leftrightarrow R - r < d < R + r

；内切

\Leftrightarrow d = R - r

；内含

\Leftrightarrow d > R - r

．

    应用举例
    一、应用特点
    1、求圆C的方程；
    2、有关圆的最值问题；
    3、有关圆方程的应用题.

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、已知圆 $C_{1}$ 的方程为： $x^{2} + y^{2} + 6 x = 0$ ，关于直线 $l_{1} : y = 2 x + 1$ 的对称圆 $C$ ，求圆 $C$ 的方程。

提示	示范
求圆的方程有两种思路：一是运用方程的观点解决，使用待定系数法；二是可充分利用几何性质，运用分析的方法解决。
解:圆 $C_{1}$ 化成标准方程 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 3^{2}$ $∴$ 圆 $C_{1}$ 的圆心 $C_{1} (- 3 ， 0)$ 。设点 $C_{1}$ 关于直线 $l_{1} : y = 2 x + 1$ 的对称点 $C (a ， b)$ ，则 $C_{1} C$ 的中点为 $M (\frac{a - 3}{2} ， \frac{b}{2})$ 在直线 $l_{1}$ 上，则可由方程 ${\begin{cases} \frac{b}{a + 3} \times 2 = - 1 \\ a - 3 - \frac{b}{2} + 1 = 0 \end{cases}$ 得 ${\begin{cases} a + 2 b + 3 = 0 \\ 2 a - b - 4 = 0 \end{cases}$ 解得 ${\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \end{cases}$ . $∴$ 圆 $C$ 的标准方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 3^{2}$ . 评注:求圆的标准方程是求圆心坐标和圆的半径，其解法有两种，法一是先设出圆的标准方程，然后利用待定系数法，求出圆心坐标和半径；法二是抓住圆的性质及题目的特点，先求出圆心坐标，而后来求圆半径，此题用的是第二种解法。

2、已知点

A (- 1 ， 0) 、 B (1 ， 0)

及圆

C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4

上的一点

P

，求

A P^{2} + B P^{2}

的最小值及取得最小值时点

P

的坐标。

提示	示范
换元 $x - 3 + 2 cos θ ， y - 4 = 2 sin θ$ ，即 $x = 3 + 2 cos$ theta，y=4+2sintheta $，将二元变成一元问题。$
解:设点 $P$ 的坐标为 $(3 + 2 cos θ ， 4 + 2 sin θ)$ ，则 $A P^{2} + B P^{2} = {(4 + 2 cos θ)}^{2} + {(4 + 2 sin θ)}^{2} + {(2 + 2 cos θ)}^{2} + {(4 + 2 sin θ)}^{2}$ $= 60 + 32 sin θ + 24 cos θ$ $= 60 + 8 (4 sin θ + 3 cos θ)$ $= 60 + 40 sin (θ + ϕ)$ 其中 ${\begin{cases} cos ϕ = \frac{4}{5} \\ sin ϕ = \frac{3}{5} \end{cases}$ . 当 $θ + ϕ = \frac{3 π}{2} + 2 k π (k \in ℤ)$ 即 $θ = \frac{3 π}{2} - ϕ + 2 k π (k \in ℤ)$ 时， ${(A P^{2} + B P^{2})}_{min} = 20$ ，此时 $cos θ = - sin ϕ = - \frac{3}{5} ， sin θ = - cos ϕ = - \frac{4}{5}$ ，相应的点 $P$ 坐标为 $(\frac{9}{5} ， \frac{12}{5})$ 。评注:1、利用参数方程进行换元是把“双变量” $f (x ， y)$ 化为“单变量” $g (θ)$ 的常用手段。 2、本题除了本解法外，还有其他方法，如结合 $O P$ ，由余弦定理得 $A P^{2} + B P^{2} = 2 O P^{2} + 2 O B^{2} = 2 O P^{2} + 2 ， ∴$ 当 $O P$ 取得最小(大)值时， $A P^{2} + B P^{2}$ 也取得最小(大)值，联立直线 $O C$ 与圆 $C$ 的方程可求出点 $P$ 的坐标。

3、某市气象台测得今年有第三号台风中点在其正东300km处，以40km/h的速度向西偏北

30^{。}

方向移动，据测定，距台风中点250km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间。(精确到分钟)。

提示	示范
需建立坐标系，由题设，台风中心到达以该市为圆心，250km为半径的圆形区域时，该市将受影响，因此，建立圆的方程求解。
解:如右图，以该市所在位置 $O$ 为原点，正东方向为 $x$ 轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中点在 $B (300 ， 0)$ 处，台风中心沿倾斜角为 $150^{。}$ 方向直线移动，其轨迹方程为 $y = - \frac{\sqrt[]{3}}{3} (x - 300) (x \leq 300)$ 。该市受台风影响时，台风中心在圆 $x^{2} + y^{2} = 250^{2}$ 内，设射线与圆交于 $C 、 D$ ，则 $\| C O \| = \| O D \| = 250$ ， $∴$ 台风中心到达 $C$ 时，开始影响该市，中心移至 $D$ 点时，影响结束，作 $O H ⊥ C D$ 于点 $H$ ，则 $\| O H \| = \| O B \| {sin 30}^{。} = 150 ， \| H B \| = 15 \sqrt[]{3} ， \| C H \| = \| H D \| = \sqrt[]{{\| O C \|}^{2} - {\| O H \|}^{2}} = 200$ ， $∴ \| B C \| = 150 \sqrt[]{3} - 200$ ，则该市受台风影响的起始时间 $t_{1} = \frac{150 - 200}{40} \approx 1.5 (h)$ ，即约90min后台风影响该市，台风影响的持续时间 $t_{2} = \frac{200 + 200}{40} = 10 (h)$ ，即台风对该市的影响持续时间为10h。评注:解决应用题的关键是将实际问题转化为数学问题。

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、求圆心在直线

y = - 4 x

上，并且与直线

l : x + y - 1 = 0

相切于点P(3，-2)的圆的方程．

提示	示范
求圆的方程有两种思路：一是运用方程的观点解决，使用待定系数法；二是可充分利用几何性质，运用分析的方法解决。
解:方法一：设所求圆的方程为 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ ，依题意有 ${\begin{cases} b = - 4 a \\ {(3 - a)}^{2} + {(- 2 - b)}^{2} = r^{2} \\ \frac{\| a + b - 1 \|}{\sqrt[]{2}} = r \end{cases}$ 解得 $a = 1 ， b = - 4 ， r = 2 \sqrt[]{2}$ ． ∴所求圆的方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 8$ ．方法二：由于圆心既在直线 $y = - 4 x$ 上，又过切点P(3，-2)与切线 $l : x + y - 1 = 0$ 垂直的直线 $y + 2 = (x - 3)$ ，即 $x - y - 5 = 0$ 上，解方程组 ${\begin{cases} x - y - 5 = 0 \\ y = - 4 x \end{cases}$ 可得圆心(1，-4)，于是 $r = 2 \sqrt[]{2}$ ，所求圆的方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 8$ ．评注:求圆的方程有以下两类方法： (1)几何法，通过研究圆的性质，直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求的圆的基本量和方程． (2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是： ①根据题意选择方程的形式； ②利用条件列出关于 $a 、 b 、 r$ 或 $D 、 E 、 F$ 的方程组； ③解出 $a 、 b 、 r$ 或 $D 、 E 、 F$ ，代入标准方程或一般方程．

2、已知圆

x^{2} + y^{2} + x - 6 y + m = 0

与直线

x + 2 y - 3 = 0

相交于

P 、 Q

两点，

O

为坐标原点，若

O P ⊥ O Q

，求实数

m

的值．

提示	示范
利用 $O P ⊥ O Q$ 得到方程，求之即可。
解:设点 $P 、 Q$ 的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1}) (x_{2} ， y_{2})$ ，由 $O P ⊥ O Q$ ，得 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ． ① 由 ${\begin{cases} x + 2 y - 3 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + x - 6 y + m = 0 \end{cases}$ 消去 $y$ 并整理，得 $5 x^{2} + 10 x + 4 m - 27 = 0$ ． ∵ $x_{1} + x_{2} = - 2 ， x_{1} x_{2} = \frac{4 m - 27}{5}$ ， ② 又∵ $P 、 Q$ 在直线 $x + 2 y - 3 = 0$ 上， ∴ $y_{1} y_{2} = \frac{1}{2} (3 - x_{1}) \frac{1}{2} (3 - x_{2}) = \frac{1}{4} [9 - 3 (x_{1} + x_{2}) + x_{1} x_{2}] = \frac{m + 12}{5}$ . ③ 将②③代入①有 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = \frac{4 m - 27}{5} + \frac{m + 12}{5} = 0$ ．解得 $m = 3$ ，适合 $Δ ＞ 0$ ， ∴ $m = 3$ ．评注:在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，可由判别式帮助考虑．

拓展探究
已知圆

x^{2} + y^{2} - 6 m x - 2 (m - 1) y + 10 m^{2} - 2 m - 24 = 0 (m \in ℝ)

．
(1)求证：不论

m

为何值，圆心恒在直线

l

上．
(2)与

l

平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离？
(3)求证：任何一条平行于

l

且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等．

提示	示范
联立直线和圆的方程求“Δ”，或用圆心到直线的距离与半径进行比较。
解:(1)证明：配方得 ${(x - 3 m)}^{2} + {[y - (m - 1)]}^{2} = 25$ ．设圆心为 $(x ， y)$ ，则 ${\begin{cases} x = 3 m \\ y = m - 1 \end{cases}$ 消去 $m$ ，得 $l : x - 3 y - 3 = 0$ ，则圆心恒在直线 $l : x - 3 y - 3 = 0$ 上． (2)解：设与 $l$ 平行的直线是 $l_{1} : x - 3 y + b = 0$ ，则圆心到直线 $l_{1}$ 的距离为 $d = \frac{\| 3 m - 3 (m - 1) + b \|}{\sqrt[]{10}} = \frac{\| 3 + b \|}{\sqrt[]{10}}$ ． ∵圆的半径为 $r = 5$ ， ∴当 $d ＜ r$ ，即 $- 5 \sqrt[]{10} - 3 < b < 5 \sqrt[]{10} - 3$ 时，直线与圆相交；当 $d = r$ ，即 $b = \pm 5 \sqrt[]{10} - 3$ 时，直线与圆相切；当 $d ＞ r$ ，即 $b < - 5 \sqrt[]{10} - 3$ 或 $b > 5 \sqrt[]{10} - 3$ 时，直线与圆相离． (3)证明：对于一条平行于 $l$ 且与圆相交的直线 $l_{1} : x - 3 y + b = 0$ ，由于圆心到直线 $l_{1}$ 的距离 $d = \frac{\| 3 + b \|}{\sqrt[]{10}}$ ，从而弦长= $2 \sqrt[]{r^{2} - d^{2}}$ 与 $m$ 无关．故直线被圆截得的弦长相等．评注:直线与圆的位置关系，可以联立直线和圆的方程看“Δ”，或用圆心到直线的距离与半径进行比较，而弦长往往用垂径定理构造直角三角形来解决．

基础训练

    1、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + f = 0$ 与 $y$ 轴交于 $A 、 B$ 两点，若 $\vec{C A}$ $•$ vec(CB) $= 0 ，则$ f $的值等于 ()$
    A.-3      B.3      C.8      D.2
    2、直线 $x - 2 y - 2 k = 0$ 与 $2 x - 3 y - k = 0$ 的交点在圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 的外部，则 $k$ 的取值范围是(   )
    A. $k < - \frac{3}{5} 或 k > \frac{3}{5}$      B. $- \frac{3}{5} < k < \frac{3}{5}$      C. $k \leq - \frac{3}{5} 或 k \geq \frac{3}{5}$      D. $- \frac{3}{5} \leq k \leq \frac{3}{5}$
    3、与 $x$ 轴 $y$ 轴都相切，并且过点 $(1 ， 8)$ 的圆的圆心坐标为(   )
    A.(5，5)或(6，6) B.(11，11)或(13，13) C.(5，5)或(13，13) D.(6，6)或(11，11)
    4、圆心为(2，3)，一条直径的两个端点分别落在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的圆的方程为_______
    5、已知一个圆的圆心为P(-8，-4)，并且此圆与直线 $3 x + 4 y - 32 = 0$ 相切，则圆P的方程为_________
    6、过两点A(5，2)和B(3，2)，圆心在直线 $2 x - y = 3$ 上的圆的方程为_____________
    7、已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 上一点A(2，2)，过点A引圆点弦，求动弦中点的轨迹。
    8、求过两圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} + 6 y - 28 = 0$ 的交点，且面积最小的圆的方程。

参考答案

    1、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + f = 0$ 与 $y$ 轴交于 $A 、 B$ 两点，若 $\vec{C A}$ $•$ vec(CB) $= 0 ，则$ f $的值等于 ()$
    A.-3      B.3      C.8      D.2
　　答案：Ａ
    2、直线 $x - 2 y - 2 k = 0$ 与 $2 x - 3 y - k = 0$ 的交点在圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 的外部，则 $k$ 的取值范围是(   )
    A. $k < - \frac{3}{5} 或 k > \frac{3}{5}$      B. $- \frac{3}{5} < k < \frac{3}{5}$      C. $k \leq - \frac{3}{5} 或 k \geq \frac{3}{5}$      D. $- \frac{3}{5} \leq k \leq \frac{3}{5}$
　　答案：Ａ
    3、与 $x$ 轴 $y$ 轴都相切，并且过点 $(1 ， 8)$ 的圆的圆心坐标为(   )
    A.(5，5)或(6，6) 　B.(11，11)或(13，13) 　C.(5，5)或(13，13) 　D.(6，6)或(11，11)
　　答案：Ｃ
    4、圆心为(2，3)，一条直径的两个端点分别落在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的圆的方程为_______
　　答案： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 0$
    5、已知一个圆的圆心为P(-8，-4)，并且此圆与直线 $3 x + 4 y - 32 = 0$ 相切，则圆P的方程为_________
　　答案： ${(x + 8)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = {(\frac{72}{5})}^{2}$
    6、过两点A(5，2)和B(3，2)，圆心在直线 $2 x - y = 3$ 上的圆的方程为_____________
　　答案： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 10$
    7、已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 上一点A(2，2)，过点A引圆的弦，求动弦中点的轨迹。
　　答案：轨迹是以A(2，2)和圆心O(2，O)为直径端点的圆,即以(2，1)为圆心,1为半径的圆.
    8、求过两圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} + 6 y - 28 = 0$ 的交点，且面积最小的圆的方程。
　　答案： $x^{2} + y^{2} + 7 x - y = 0$

提高训练

1、过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心在直线

x + y - 2 = 0 上

的圆的方程是( )
A.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4

{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

2、已知圆

C

过原点，圆心在直线

y = 2 x

上，且直线

y = x + 1

平分圆

C

的面积，则圆

C

的方程为_______
3、求两圆

C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 6 y + 9 = 0

和

C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 1 = 0

的公切线方程。
4、已知向量

\vec{e_{1}} = (a ， 0) ， \vec{e_{2}} = (0 ， 1)

，经过定点

A (- a ， 0)

且方向向量为

- \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}

的直线与经过定点

B (a ， 0)

且方向向量为

2 λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}

的直线交于点

M

其中

λ \in ℝ

。常数

a > 0

。
(1)求点

M

的轨迹方程。
(2)若

A = \frac{\sqrt[]{6}}{2}

，过点F(1，0)的直线与点

M

的轨迹交于

C 、 D

两点，求

\vec{F C}

•

\vec{F D}

的取值范围。

参考答案

1、过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心在直线

x + y - 2 = 0 上

的圆的方程是( )
A.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4

{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4

答案：C
2、已知圆

C

过原点，圆心在直线

y = 2 x

上，且直线

y = x + 1

平分圆

C

的面积，则圆

C

的方程为_______
答案：

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5

3、求两圆

C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 6 y + 9 = 0

和

C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 1 = 0

的公切线方程。
答案：

x = 0 或 3 x + 4 y + 10 = 0

4、已知向量

\vec{e_{1}} = (a ， 0) ， \vec{e_{2}} = (0 ， 1)

，经过定点

A (- a ， 0)

且方向向量为

- \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}

的直线与经过定点

B (a ， 0)

且方向向量为

2 λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}

的直线交于点

M

其中

λ \in ℝ

。常数

a > 0

。
(1)求点

M

的轨迹方程。
(2)若

A = \frac{\sqrt[]{6}}{2}

，过点F(1，0)的直线与点

M

的轨迹交于

C 、 D

两点，求

\vec{F C}

•

\vec{F D}

的取值范围。
答案：(1)

x^{2} + 2 a^{2} y^{2} = a^{2}

(除去点

A (- a ， 0)

) (2)

(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{6}]

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