|
应用举例
一、应用特点
1、求圆C的方程；
2、有关圆的最值问题；
3、有关圆方程的应用题.
二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)
1、已知圆`C_1`的方程为：`x^2+y^2+6x=0`，关于直线`l_1:y=2x+1`的对称圆`C`，求圆`C`的方程。
|
提示 |
示范 |
|
|
求圆的方程有两种思路：一是运用方程的观点解决，使用待定系数法；二是可充分利用几何性质，运用分析的方法解决。 |
解:圆`C_1`化成标准方程`(x-3)^2+y^2=3^2`
`:.`圆`C_1`的圆心`C_1(-3，0)`。
设点`C_1`关于直线`l_1:y=2x+1`的对称点`C(a，b)`，则`C_1C`的中点为`M((a-3)/2，b/2)`在直线`l_1`上，
则可由方程`{(b/(a+3)xx2=-1),(a-3-b/2+1=0):}`得`{(a+2b+3=0),(2a-b-4=0):}`
解得`{(a=1),(b=-2):}`.
`:.`圆`C`的标准方程为`(x-1)^2+(y+2)^2=3^2`.
评注:求圆的标准方程是求圆心坐标和圆的半径，其解法有两种，法一是先设出圆的标准方程，然后利用待定系数法，求出圆心坐标和半径；法二是抓住圆的性质及题目的特点，先求出圆心坐标，而后来求圆半径，此题用的是第二种解法。 |
2、已知点`A(-1，0)、B(1，0)`及圆`C:(x-3)^2+(y-4)^2=4`上的一点`P`，求`AP^2+BP^2`的最小值及取得最小值时点`P`的坐标。
|
提示 |
示范 |
|
|
换元`x-3+2costheta，y-4=2sintheta`，即`x=3+2costheta，y=4+2sintheta`，将二元变成一元问题。 |
解:设点`P`的坐标为`(3+2costheta，4+2sintheta)`，则
`AP^2+BP^2=(4+2costheta)^2+(4+2sintheta)^2+(2+2costheta)^2+(4+2sintheta)^2`
`=60+32sintheta+24costheta`
`=60+8(4sintheta+3costheta)`
`=60+40sin(theta+varphi)`
其中`{(cosvarphi=4/5),(sinvarphi=3/5):}`.
当`theta+varphi=(3pi)/2+2kpi(kinZZ)`即`theta=(3pi)/2-varphi+2kpi(kinZZ)`时
，`(AP^2+BP^2)_(min)=20`，
此时`costheta=-sinvarphi=-3/5，sintheta=-cosvarphi=-4/5`，相应的点`P`坐标为`(9/5，12/5)`。
评注:1、利用参数方程进行换元是把“双变量”`f(x，y)`化为“单变量”`g(theta)`的常用手段。
2、本题除了本解法外，还有其他方法，如结合`OP`，由余弦定理得`AP^2+BP^2=2OP^2+2OB^2=2OP^2+2，:.`当`OP`取得最小(大)值时，`AP^2+BP^2`也取得最小(大)值，联立直线`OC`与圆`C`的方程可求出点`P`的坐标。 |
3、某市气象台测得今年有第三号台风中点在其正东300km处，以40km/h的速度向西偏北`30^。`方向移动，据测定，距台风中点250km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间。(精确到分钟)。
|
提示 |
示范 |
|
|
需建立坐标系，由题设，台风中心到达以该市为圆心，250km为半径的圆形区域时，该市将受影响，因此，建立圆的方程求解。 |
解:如右图，以该市所在位置`O`为原点，正东方向为`x`轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中点在`B(300，0)`处，台风中心沿倾斜角为`150^。`方向直线移动，其轨迹方程为`y=-root()(3)/3(x-300)(x<=300)`。
该市受台风影响时，台风中心在圆`x^2+y^2=250^2`内，设射线与圆交于`C、D`，则`|CO|=|OD|=250`，
`:.`台风中心到达`C`时，开始影响该市，中心移至`D`点时，影响结束，作`OH_|_CD`于点`H`，
则`|OH|=|OB|sin30^。=150，|HB|=15root()(3)，|CH|=|HD|=root()(|OC|^2-|OH|^2)=200`，
`:.|BC|=150root()(3)-200`，则该市受台风影响的起始时间`t_1=(150-200)/40~~1.5(h)`，
即约90min后台风影响该市，台风影响的持续时间`t_2=(200+200)/40=10(h)`，
即台风对该市的影响持续时间为10h。
评注:解决应用题的关键是将实际问题转化为数学问题。 |
|