§7.3 简单的线性规划及其应用

第七章直线和圆的方程
§7.3 简单的线性规划及其应用

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
能正确画出二元一次不等式表示的平面区域；了解线性规划的意义，并能解决一些简单的实际问题.

二、重点难点

    三、特别提示
    1、对线性目标函数 $z = A x + B y 中$ 的 $B$ 的符号一定要注意.当 $B ＞ 0$ 时，当直线过可行域且在 $y$ 轴上截距最大时， $z$ 值最大，在 $y$ 轴上的截距最小时， $z$ 值最小；当 $B ＜ 0$ 时，当直线过可行域且在 $y$ 轴上截距最大时， $z$ 值最小，在 $y$ 轴上截距最小时， $z$ 值最大．
    2、由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察结果有误．
    3、点 $(x_{0} ， y_{0})$ 在直线 $A x + B y + C = 0$ 上方的充要条件为 $B (A x_{0} + B y_{0} + C) > 0$ ．在直线左方的充要条件为 $A (A x_{0} + B y_{0} + C) < 0$ ．
    4、求整数解的方法：一是用网格线将线性区域分为若干整解点；二是在原来的最优解附近试值．

知识梳理
1、二元一次不等式

A x + B y + C > 0

在平面直角坐标系中表示平面区域，直线

l

应画成虚线；画不等式

A x + B y + C \geq 0

所表示的区域时，应把边界画成实线．
2、若点

P (x_{0} ， y_{0})

与点

P (x_{1} ， y_{1})

在直线

l : A x + B y + C = 0

的同侧，则

A x_{0} + B y_{0} + C

与

A x_{1} + B y_{1} + C

应同号．
3、二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
4、对于变量

x 、 y

的约束条件，都是关于

x 、 y

的一次不等式，称为线性约束条件．

z = f (x ， y)

是欲达到最值所涉及的变量

x 、 y

的解析式，叫目标函数，当

f (x ， y)

是

x 、 y

的一次解析式时，

z = f (x ， y)

叫做线性目标函数．
5、求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题称为线性规划问题，满足线性约束条件的解

(x ， y)

称为线性规划问题的可行解，由所有解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解.

    应用举例
    一、应用特点
    1、用二元一次不等式组表示迎面区域；
    2、线性规划问题；
    3、线性规划的实际应用

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、画出不等式组 ${\begin{cases} x - y + 5 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 3 \end{cases}$ 表示的平面区域。

提示	示范
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解:不等式 $x - y + 5 \geq 0$ 表示直线 $x - y + 5 = 0$ 及右下方的点的集合， $x = y \geq 0$ 表示直线 $x + y = 0$ 及右上方点的集合， $x \leq 3$ 表示直线 $x = 3$ 及左方的点的集合。故不等式组 ${\begin{cases} x - y + 5 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 3 \end{cases}$ 表示的平面区域如下图所示。评注:当 $B > 0$ 时， $A x + B y + C > 0$ 表示的是直线 $A x + B y + C = 0$ 上方的区域， $A x + B y + C < 0$ 表示的是直线 $A x + B y + C = 0$ 下方的区域，另外，要注意边界的实虚问题。

2、设变量

x 、 y

满足条件

{\begin{cases} 5 y - x - 5 \geq 0 \\ 2 x + 5 y - 20 \leq 0 \\ 2 x - y - 1 \geq 0 \end{cases}

，求

m = x + y

的最大值与最小值。

提示	示范
先准确画出约束条件表示平面区域，再利用图解法直观地求出最优解。
解:如下图， $l_{1} 、 l_{2} 、 l_{3}$ 分别是方程 $5 y - x - 5 = 0 ， 2 x + 5 y - 20 = 0 ， 2 x - y - 1 = 0$ 表示的直线，不等式组 ${\begin{cases} 5 y - x - 5 \geq 0 \\ 2 x + 5 y - 20 \leq 0 \\ 2 x - y - 1 \geq 0 \end{cases}$ ，表示的是 $l_{1}$ 上方， $l_{2}$ 下方， $l_{3}$ 下方围成的区域，如图中 $Δ A B C$ 围成的部分，包括三条边。由 ${\begin{cases} - x + 5 y - 5 = 0 \\ 2 x + 5 y - 20 = 0 \end{cases}$ 解出 $A (5 ， 2)$ . 由 ${\begin{cases} - x + 5 y - 5 = 0 \\ 2 x + 5 y - 1 = 0 \end{cases}$ 解出 $B (\frac{10}{9} ， \frac{11}{9})$ 由 ${\begin{cases} 2 x + 5 y - 20 = 0 \\ 2 x + 5 y - 1 = 0 \end{cases}$ 解出 $C (\frac{25}{12} ， \frac{19}{6})$ 又对于 $l_{4} ： m = x + y$ ，当 $l_{4}$ 过点 $B$ 时， $m = \frac{10}{9} + \frac{11}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$ 。当 $l_{4}$ 过点 $C$ 时， $m = \frac{25}{12} + \frac{19}{6} = \frac{63}{12} = \frac{21}{4}$ ； $l_{4}$ 过点 $A$ 时， $m = 5 + 2 = 7$ $∴ m$ 的最大值为 $7$ ，最小值为 $\frac{7}{3}$ 从图也可以看出 $l_{4} ： y = - x + m$ ，求 $m$ 的最大值即求 $l_{4}$ 在 $y$ 轴上的截距的最大值。 $l_{4}$ 过 $A$ 点时最大， $l_{4}$ 过 $B$ 点是 $m$ 最小。评注:简单的线性规划问题中的可行域，实际上就是一个二元一次不等式组表示的平面区域。

3、某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元。甲、乙产品都需要在

A ， B

两种设备上加工，在每台

A ， B

上加工一件甲所需工时分为1工时、2工时，加工一件乙所需工时分别为2工时、1工时，

A ， B

两种设备每月有效使用工时数为

a (400 \leq a \leq 500)

，求生产收入最大值的范围？

提示	示范
先设出每月生产甲、乙两中产品分别为 $x$ 件， $y$ 件，再利用约束条件画图直观求解。
解:设甲、乙两种产品每月的产量分别为 $x ， y$ 件，约束条件是 ${\begin{cases} x + 2 y \leq a \\ 2 x + y \leq a \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ 目标函数是 $z = 3 x + 2 y$ 。由约束条件画出可行域，如右图。将 $z = 3 x + 2 y$ 变形为 $y = - \frac{3}{2} x + \frac{z}{2}$ ，这是斜率为 $一 \frac{3}{2}$ ，随 $z$ 变化的一组直线。 $\frac{z}{2}$ 是直线在 $y$ 轴上的截距，当 $\frac{z}{2}$ 最大时 $z$ 最大，当然直线要与可行域相交，即在满足的束条件时目标函数取得最大值。由 ${\begin{cases} x + 2 y = a \\ 2 x + y = a \end{cases}$ 解得 ${\begin{cases} x = \frac{a}{3} \\ y = \frac{a}{3} \end{cases}$ 在这个问题中，使 $z = 3 x + 2 y$ 取得最大值的 $(x ， y)$ 是两直线 $2 x + y = a$ 与 $x + 2 y = a$ 的交点 $(\frac{a}{3} ， \frac{a}{3})$ ， $∴ z = 3 \times \frac{a}{3} + 2 \times \frac{a}{3} = \frac{5}{3}$ 。又 $∵ 400 \leq a \leq 500$ ， $∴ \frac{2000}{3} \leq z \leq \frac{2500}{3}$ ，即生产收入最大值的范围是 $[\frac{2000}{3} ， \frac{2500}{3}]$ 。评注:实际问题要注意的是可行解是否是整数解.

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、画出不等式组

{\begin{cases} x - 2 y + 1 > 0 \\ x + 2 y + 1 \geq 0 \\ 1 < | x - 1 | \leq 3 \end{cases}

表示的平面区域．

提示

示范

解:不等式

x - 2 y + 1 > 0

表示直线

x - 2 y + 1 = 0

右下方的点的集合；
不等式

x + 2 y + 1 \geq 0

表示直线

x + 2 y + 1 = 0

及其右上方的点的集合；
不等式

1 < | x - 1 | \leq 3

可化为

- 1 \leq x < 1

或

3 < x \leq 5

，它表示夹在两平行线

x = - 1

和

x = 1

之间或在两平行线

x = 3

和

x = 5

之间的带状区域，但不包括直线

x = 1

和

x = 3

上的点．
所以，原不等式表示的区域如下图所示．

评注:画平面区域问题主要是根据线性约束条件，先画对应的直线，然后确定所在区域“直线定界，特殊点定域”的方法，注意直线的虚实．

2、设

z = 2 y - 2 x + 4

，式中

x 、 y

满足条件

{\begin{cases} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 2 \\ 2 y - x \geq 1 \end{cases}

求

z

的最大值和最小值

提示

示范

解:作出满足不等式组

{\begin{cases} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 2 \\ 2 y - x \geq 1 \end{cases}

的可行域，如图所示．

作直线 $l : 2 y - 2 x = t$ ，当 $l$ 过点 $A (0 ， 2)$ 时， $z_{max} = 2 \times 2 - 2 \times 0 + 4 = 8$ ；
当 $l$ 过点 $B (1 ， 1)$ 时， $z_{min} = 2 \times 1 - 2 \times 1 + 4 = 4$

评注:求目标函数 $z = a x + b y + c (a b \neq 0) ， (c \neq 0)$ 的最值，与求目标函数 $z = a x + b y (a b \neq 0)$ 的最值，其方法是一样的，因为在 $z = a x + b y + c$ 中， $c$ 为非零常数，故仍然可设 $t = a x + b y$ ，只要求出 $z = a x + b y$ 的最值，则 $z = a x + b y + c$ 的最值即可求得．

拓展探究
某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台3万美元及人民币50万元的维护费，第二种机器每台5万美元及人民币20万元的维护费．而第一种机器的年利润每台8万美元，第二种机器的年利润每台5万美元，但政府核准的外汇是美元135万元，并且公司的总维护费不得超过1800万元，问每种机器应该购买几台最好？

提示

示范

先设出第一种机器购买

x

台，第二种机器购买

y

台，再利用约束条件画图直观求解。

解:设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，则

{\begin{cases} 3 x + 5 y \leq 135 \\ 50 x + 20 y \leq 1800 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}

总利润

z = 8 x + 5 y

，做出不等式组所表示的平面区域如图所示，即可行域．

    由 ${\begin{cases} 3 x + 5 y = 135 \\ 50 x + 20 y = 1800 \end{cases}$ 求得 ${\begin{cases} x = \frac{630}{19} \\ y = \frac{135}{19} \end{cases}$
由于 $\frac{630}{19} ， \frac{135}{19}$ 都不是整数，而最优解 $(x ， y)$ 中， $x 、 y$ 必须是整数，所以可行域内点 $(\frac{630}{19} ， \frac{135}{19})$ 不是最优点，经过可行域内的点，且与原点距离最大的直线为 $8 x + 5 y = 299$ ．
    经过的整点是 $(33 ， 7)$ ，它是最优解．
   $∴$ 第一种机器购买33台，第二种机器购买7台最好.

评注:由于机器台数为整数，所以必须寻找最优整数解，调优的办法是在以 $z$ 取得最值的附近整数为基础通过解不等式组找出最优解．

基础训练

1、不等式

3 x - 2 y - 1 > 0

表示的平面区域在直线

3 x - 2 y - 1 = 0

的(   )
    A.左上方     B.右上方     C.左下方     D.右下方
    2、已知

x 、 y

满足约束条件

{\begin{cases} x - y + 5 \geq 0 \\ x + y \Rightarrow = 0 \\ x \leq 3 \end{cases}

则

z = 4 x + 2 y

的最小值是(   )
    A.5         B.-5        C.10        D.-10
    3、给出平面区域，如图所示，若使目标函数

z = a x + y (a > 0)

取得最大值的最优解有无穷多个，则

a

的值为( )
A.

\frac{1}{4}

\frac{3}{5}

4

\frac{5}{3}

4、点

(3 ， 1)

和

(- 4 ， 6)

在直线

3 x - 2 y + a = 0

的两侧，则( )
A.

a < - 7 或 a > 24

- 7 < a < 24

a = - 7 或 a = 24

D.以上都不对
5、直线

3 x + y - 3 = 0

上位于

x

轴下方的一点

P

到直线

x - y - 1 = 0

的距离为

3 \sqrt[]{2}

，则

P

点坐标为______
6、设集合

A = {(x ， y) | x ， y ， 1 - x - y

是三角形的三边长

}

，则

A

所表示的平面区域(不含边界)是(   )
    A.    B.    C.    D.
    7、已知一元二次方程

x^{2} + a x + b = 0

的一个根在

- 2

与 - 1

之间，另一个根在

1

与

2

之间，试求以

a 、 b

为坐标的点

(a ， b)

的存在范围。
8、电视台为某个广告特约播放两套片集，其中片集甲每播映时间为20分钟，广告为1分钟，收视观众为60万，片集乙每播映时间为10分钟，广告是为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目。电视台每周应播映两套片集各多少次，才能够获得最高的收视率？

参考答案

1、不等式

3 x - 2 y - 1 > 0

表示的平面区域在直线

3 x - 2 y - 1 = 0

的(   )
    A.左上方     B.右上方     C.左下方     D.右下方
　　答案：Ｄ
    2、已知

x 、 y

满足约束条件

{\begin{cases} x - y + 5 \geq 0 \\ x + y \Rightarrow = 0 \\ x \leq 3 \end{cases}

则

z = 4 x + 2 y

的最小值是(   )
    A.5         B.-5        C.10        D.-10
　　答案：Ｂ
    3、给出平面区域，如图所示，若使目标函数

z = a x + y (a > 0)

取得最大值的最优解有无穷多个，则

a

的值为( )
A.

\frac{1}{4}

\frac{3}{5}

4

\frac{5}{3}

　　答案：Ｂ
4、点

(3 ， 1)

和

(- 4 ， 6)

在直线

3 x - 2 y + a = 0

的两侧，则( )
A.

a < - 7 或 a > 24

- 7 < a < 24

a = - 7 或 a = 24

D.以上都不对
　　答案：Ｂ
5、直线

3 x + y - 3 = 0

上位于

x

轴下方的一点

P

到直线

x - y - 1 = 0

的距离为

3 \sqrt[]{2}

，则

P

点坐标为______
　　答案：

(\frac{5}{2} ， - \frac{9}{2})

6、设集合

A = {(x ， y) | x ， y ， 1 - x - y

是三角形的三边长

}

，则

A

所表示的平面区域(不含边界)是(   )
    A.    B.    C.    D.
　　答案：Ａ
    7、已知一元二次方程

x^{2} + a x + b = 0

的一个根在

- 2

与 - 1

之间，另一个根在

1

与

2

之间，试求以

a 、 b

为坐标的点

(a ， b)

的存在范围。
　　答案：略
8、电视台为某个广告特约播放两套片集，其中片集甲每播映时间为20分钟，广告为1分钟，收视观众为60万，片集乙每播映时间为10分钟，广告是为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目。电视台每周应播映两套片集各多少次，才能够获得最高的收视率？
　　答案：各播映2集和4集

提高训练

1、在平面直角坐标系中，不等式组

{\begin{cases} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{cases}

，表示的平面区域的面积是(   )
    A.4      B.4         C.2         D.2
    2、已知点

P (x ， y)

的坐标满足条件

{\begin{cases} x + y \leq 4 \\ y \geq x \\ x \geq 1 \end{cases}

点

O

为坐标原点，那么

| P O |

的最小值等于___，最大值等于____。
3、已知

x 、 y

满足不等式组

{\begin{cases} y \geq 0 \\ x + 3 y - 7 \geq 0 \\ 2 x + y - 24 \leq 0 \\ 3 x - y - 6 \geq 0 \end{cases}

试求

z = x + y

的最大值或最小值及相应的

x 、 y

的值。
4、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。
某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损绿分为30%和10%。投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才恩能够使可能的盈利最大？

参考答案

1、在平面直角坐标系中，不等式组

{\begin{cases} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{cases}

，表示的平面区域的面积是(   )
    A.4         B.4         C.2         D.2
　　答案：Ｂ
    2、已知点

P (x ， y)

的坐标满足条件

{\begin{cases} x + y \leq 4 \\ y \geq x \\ x \geq 1 \end{cases}

点

O

为坐标原点，那么

| P O |

的最小值等于___，最大值等于____。
　　答案：

\sqrt[]{2} ， \sqrt[]{10}

3、已知

x 、 y

满足不等式组

{\begin{cases} y \geq 0 \\ x + 3 y - 7 \geq 0 \\ 2 x + y - 24 \leq 0 \\ 3 x - y - 6 \geq 0 \end{cases}

试求

z = x + y

的最大值或最小值及相应的

x 、 y

的值。
　　答案：

z_{最 大 值} = 18 ， x = 6 ， y = 12

，

z_{最 小 值} = 4 ， x = \frac{5}{2} ， y = \frac{3}{2}

4、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。
某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损绿分为30%和10%。投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才恩能够使可能的盈利最大？
　　答案：略

学习感悟
解线性规划应用题的一般步聚和方法

1、①设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数；
②画出可行域，比较斜率确定最优解。

2、在可行域内寻找最优整数解的方法:

①综合约束条件，观察、分析、验证即得点A最优解附近的整点；

②分析目标函数值(取整)，结合约束条件确定整数解。注意在作平面区域时， $a x + b y + c > 0$ 和 $a x + b y + c \geq 0$ ，分别为虚线和实线。

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