§7.2 两条直线的位置关系

第七章直线和圆的方程
§7.2 两条直线的位置关系

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
掌握两条直线平行与垂直的充要条件：掌握点到直线的距离公式和两条直线的夹角的正切公式：能够根据直线方程判断两条直线的位置关系

二、重点难点

    三、特别提示
    (1)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 斜率都存在，且均不重合的条件下，才有 $l_{1} // l_{2} \Leftrightarrow k_{1} = k_{2}$ 与 $l_{1} ⊥ l_{2} \Leftrightarrow k_{1} k_{2} = - 1$ ．
    (2)求两条直线相交所成的角，一定要分清是夹角还是从 $l_{1}$ 到 $l_{2}$ 或 $l_{2}$ 到 $l_{1}$ 的角．
    (3)在运用公式 $d = \frac{| C_{1} - C_{2} |}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}}$ 求平行直线的距离时，一定要把 $x ， y$ 项系数化成相等的系数．
    (4)注意对称变换在解题中的作用，此外，通过求点关于直线的对称，还可解决以下两类问题：
    ①两点在直线同侧，在直线上求一点，使该点与这两点的距离之和最小．
    ②两点在直线同侧，在直线上求一点，使该点到这两点的距离之差的绝对值最大．

知识梳理
1、若点

P (x_{0} ， y_{0})

在直线上

A x + B y + C = 0

上，则有

A x_{0} + B y_{0} + C = 0

．若点

P (x_{0} ， y_{0})

不在直线

A x + B y + C = 0

上，则P到该直线的距离可表示为

d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}}

．两平行线

l_{1} : A x + B y + C_{1} = 0

和

l_{2} : A x + B y + C_{2} = 0

之间的距离

d = \frac{| C_{1} - C_{2} |}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}}

．
2、直线与直线的位置关系
(1)有斜率的两直线

l_{1} : y = k_{1} x + b_{1}

，

l_{2} : y = k_{2} x + b_{2}

，则

l_{1} // l_{2} \Leftrightarrow k_{1} = k_{2} 且 b_{1} =! b_{2}

；

l_{1} ⊥ l_{2} \Leftrightarrow k_{1} k_{2} = - 1

；

l_{1}

与

l_{2}

相交

\Leftrightarrow k_{1} \neq k_{2}

．
(2)当直线

l_{1}

的斜率不存在时，

l_{2}

的斜率也不存在时，

l_{1} // l_{2}

；

l_{2}

的斜率为0，

l_{1} ⊥ l_{2}

．
3、到角与夹角
(1)

l_{1}

到

l_{2}

的角：直线

l_{1}

按逆时针绕着交点旋转与

l_{22}

重合时所形成的角，且

tan θ = \frac{k_{2} - k_{1}}{1 + k_{1} k_{2}} (k_{1} k_{2} \neq - 1)

．
(2)

l_{1}

与

l_{2}

的夹角为

θ

，则

θ \in [0 ， \frac{π}{2}]

，

tan θ = | \frac{k_{2} - k_{1}}{1 + k_{1} k_{2}} | (k_{1} k_{2} \neq - 1)

．
4、对称问题
(1)

P (x_{0} ， y_{0})

关于定点

A (a ， b)

的对称点为

(2 a - x_{0} ， 2 b - y_{0})

．曲线

C : f (x ， y) = 0

关于

A (a ， b)

的对称点曲线方程为

f (2 a - x_{0} ， 2 b - y_{0}) = 0

．
(2)

P (x ， y)

点关于

A x + B y + C = 0

的对称点为

P^{'} (x^{'} ， y^{'})

，则

{\begin{cases} A (\frac{x + x^{'}}{2}) + B (\frac{y + y^{'}}{2}) + C = 0 \\ B (x^{'} - x) + A (y^{'} - y) = 0 \end{cases}

    应用举例
    一、应用特点
    1、根据直线的位置关系求直线方程；
    2、运用两直线所成角公式解题；
    3、运用距离公式和函数最值解题

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、已知两直线 $l_{1} : m x + 8 y + n = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + m y - 1 = 0$ ，试确定 $m ， n$ 的值，使

    (1) $L_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交与点 $P (m ， - 1)$ ：
    (2) $l_{1} // l_{2}$ ：
    (3) $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 在 $y$ 轴上的截距为-1.

提示

示范

解:(1)

∵ m^{2} - 8 + n = 0

，且

2 m - m - 1 = 0

，

∴ m = 1 ， n = 7 .

(2)由

m \cdot m - 8 \times 2 = 0

，得

m = \pm 4

。由

8 \times (- 1) - n \cdot m \neq 0 ， n \neq \pm 2

，即

m = 4 ， n \neq - 2

或

m \neq - 4 ， n \neq 2

时，

l_{1} // l_{2}

。

(3)当且仅当 $m \cdot 2 + 8 \cdot m = 0$ ，即 $m = 0$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，又 $- \frac{n}{8} = - 1$ ，
$∴ n = 8$ ，即 $m = 0 ， n = 8$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 在 $y$ 轴上的截距为-1

评注:若直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的方程分别为 $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ 和 $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ ，则 $l_{1} // l_{2}$ 的必要条件是 $A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 0$ ，而 $l_{1} ⊥ l_{2}$ 的充要条件是 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ 。

解题中为避免讨论，常依据上面结论去操作。

2、求经过点

P (2 ， 3)

且被两平行直线

3 x + 4 y - 7 = 0

和

3 x + 4 y + 3 = 0

截成的线段长为

\sqrt[]{5}

的直线方程。

提示

示范

解: $| A B | = \frac{| - 7 - 3 |}{\sqrt[]{3^{2} + 4^{2}}} = 2$ .

    $∵ | A B | = \sqrt[]{5}$ ，在 $R t Δ A B C$ 中，求出|BC|=1，则 $tan ∠ A B C = 2$ .
    设所求直线斜率为 $k$ ，则 $| \frac{k - (- \frac{3}{4})}{1 + (- \frac{3}{4}) k} | = 2$
    解得 $k = \frac{1}{2}$ 或 $k = \frac{11}{2}$
    $∴ x - 2 y + 4 = 0$ .故 $11 x - 2 y - 16 = 0$ 为所求

评注: 本题的解法利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路。

3、分别过A(6，2)、B(-3，-1)两点的两条直线相平行，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行间的距离为

d

，
(1)求距离

d

的变化范围；
(2)求当

d

取得最大值时两直线方程。

提示

示范

解:解法一：(1)设两直线方程分别为

y = k x + b_{1}

，和

y = k x + b_{2}

，则

{2 = 6 k + b_{1}, - 1 = 13 k + b_{2}

即

{b_{1} = 2 - 6 k, b_{2} = 3 k - 1

而

d = \frac{| b_{2} - b_{1} |}{\sqrt[]{1 + k^{2}}} = \frac{| 9 k - 3 |}{\sqrt[]{1 + k^{2}}}

，

∴ d^{2} + d^{2} k^{2} = 81 k^{2} - 54 k + 9

，
即

(81 - d^{2}) k^{2} - 54 k = 9 - d^{2} = 0

.由于

k \in R

，

∴ Δ = 54^{2} - 4 (81 - d^{2}) (9 - d^{2}) \geq 0

整理得

4 d^{2} (d^{2} - 90) \leq 0

∴ 0 < d \leq 3 \sqrt[]{10}

(2)因为

d = 3 \sqrt[]{10}

时，

k = \frac{54}{(81 - 90) \times 2} = - 3

.
故两直线方程分别为

3 x + y - 20 = 0

和

3 x + y + 10 = 0

    解法二：(1)由图形可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离 $d = | A B | = 3 \sqrt[]{10}$ 最大。当两平行先重合，即都过A，B点时距离 $d = 0$ 最小，但平行线不能重合。
    $∴ 0 < d \leq 3 \sqrt[]{10}$
    (2)两直线方程分别是 $3 x + y - 20 = 0$ 和 $3 x + y + 10 = 0$

评注:两平行直线的距离公式要牢记，数形结合思想要注意体会。

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、已知两直线

l_{1} : x + m^{2} y + 6 = 0

，

l_{2} : (m - 2) x + 3 m y + 2 m = 0

，问当

m

为何值时，

l_{1}

与

l_{2}

(1)相交；(2)平行；(3)重合？

提示	示范
利用两条直线相交、平行、重合的充要条件。
解:当 $m = 0$ 时， $l_{1} : x + 6 = 0$ ， $l_{2} : x = 0$ ， ∴ $l_{1} // l_{2}$ 当 $m = 2$ 时， $l_{1} : x + 4 y + 6 = 0$ ， $l_{2} : 3 y + 2 = 0$ ， ∴ $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交．　　当 $m \neq 0$ 且 $m \neq 2$ 时，由 $\frac{1}{m - 1} = \frac{m^{2}}{3 m}$ ，得 $m = - 1$ 或 $m = 3$ ；　　由 $\frac{1}{m - 1} = \frac{6}{2 m}$ 得 $m = 3$ ．　　故(1)当 $m \neq - 1 ， m \neq 3$ 且 $m \neq 0$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交；　　(2)当 $m = - 1 或 m = 0$ 时， $l_{1} // l_{2}$ ；　　(3)当 $m = 3$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 重合．评注:对这类问题要从优斜率、没有斜率两方面进行考虑

2、已知点A(1，-4)，直线

l_{1} : 2 x + 3 y + 5 = 0

．
(1)求过点A且平行于

l

的直线方程；
(2)求过点A且垂直于

l

的直线方程．

提示

示范

解:方法一：

　　∵已知直线l的斜率为 $- \frac{2}{3}$ ，
　　∴平行于l的直线的斜率也是 $- \frac{2}{3}$ ，垂直于l的直线的斜率是 $\frac{3}{2}$ ，
　　∴由点斜式方程，得
　　(1)过点A(1，-4)且平行于l的直线的方程为 $y + 4 = - \frac{2}{3} (x - 1)$ ，即 $2 x + 3 y + 10 = 0$ ．
　　(2)过点且垂直于l的直线的方程为 $y + 4 = \frac{3}{2} (x - 1)$ ，即 $3 x - 2 y - 11 = 0$ ．
　　方法二：

    (1)设与l平行的直线的方程为 $2 x + 3 y + λ = 0$ ．
　　∵所求直线过点A(1，-4)，
    ∴A点的坐标应满足所求直线的方程．
　 ∴ $2 \times 1 + 3 \times (- 4) + λ = 0$ ，解得 $λ = 10$
　　故所求直线方程为 $2 x + 3 y + 10 = 0$ ．
　　(2)设于l垂直的直线的方程为 $3 x - 2 y + λ = 0$ ．
　　∵所求直线过点A(1，-4)，
    ∴ $3 \times 1 - 2 \times (- 4) + λ = 0$ ，解得 $λ = - 11$ ．
　　故所求直线方程为 $3 x - 2 y - 11 = 0$ ．

评注:方法一首先利用两直线平行和垂直的条件求斜率，然后利用点斜式求直线方程，思路清晰．

方法二利用了待定系数法．一般地，与直线 $A x + B y + C = 0$ 平行的直线方程可设为 $A x + B y + λ = 0$ ；与这条直线垂直的直线可设为 $B x - A y + λ = 0$ ，只要根据已知条件，求出参数 $λ$ 的值，即可求得直线方程．根据两直线平行、垂直的条件，过点 $(x_{0} ， y_{0})$ 且与 $A x + B y + C = 0$ 平行、垂直的直线方程还可直接设为 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0 ， B (x - x_{0}) - A (y - y_{0}) = 0 ．$

拓展探究
已知点A、B的坐标分别为

(2 ， - 1) 、 (5 ， 3)

，直线l的方程为

2 x - y + 1 = 0

，问直线l是否与线段AB相交？

提示	示范
本题可用定比分点公式考虑。
解:设直线 $l$ 与直线AB相交于 $P (x ， y)$ ，且点P分有向线段AB的比为 $λ$ ，　　则 ${\begin{cases} x = \frac{2 + 5 λ}{1 + λ} \\ y = \frac{- 1 + 3 λ}{1 + λ} \end{cases}$ ， ∵点P在直线 $l$ 上，　　∴ $2 \cdot \frac{2 + 5 λ}{1 + λ} - \frac{- 1 + 3 λ}{1 + λ} + 1 = 0$ ．　　解得 $λ = - \frac{3}{4} < 0$ ， ∴点P在BA延长线上．　　故直线l与线段AB不相交．评注:本题还可用讨论斜率范围的方法解，在直线 $l$ 上取一点 $M (0 ， 1)$ ，求得 $k_{A M} = - 1$ ， $k_{B M} = \frac{2}{5}$ ，可知过M点的直线其斜率 $k$ 需要满足 $k \in [0 ， \frac{2}{5}] \cup [- 1 ， 0)$ 才能与线段AB相交，因直线l的斜率为 $2 \notin [0 ， \frac{2}{5}] \cup [- 1 ， 0)$ ，故直线l与线段AB不相交．而最简便的解法为：把A、B的坐标分别代入到 $2 x - y + 1$ ，得 $2 \times 2 - (- 1) + 1 > 0$ ， $2 \times 5 - 3 + 1 > 0$ ． ∴A、B在直线l的同侧，故l与线段不相交．

基础训练

1、若直线

a x + 2 y - 1 = 0

与

x + (a - 1) y + a^{2} = 0

平行，则a的值为(   )
    A.-1     B.2     C.-1和2     D.0和1
    2、下列命题：①若直线平行，则其斜率相等；②若两直线互相垂直，则其斜率的积等于-1；③垂直与x轴的直线平行于y轴。其中正确的命题个数为(   )
    A.0      B.1     C.2         D.3
    3、直线

l_{1} : x + m y + 6 = 0

与

l_{2} : (m - 2) x + 3 y + 2 m = 0

只有一个公共点，则有( )
A.

m \neq - 1 且 m \neq 3

m \neq - 1 且 m \neq - 3

m \neq 1 且 m \neq 3

m \neq 1 且 m \neq - 3

4、若三条直线

l_{1} : x + 2 y - 5 = 0 ， l_{2} : 2 x - 3 y + 4 = 0 ， l_{3} : a x + y = 0

不能围成三角形，则

a

的值为______
5、将直线

l : x + 2 y - 1 = 0

向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到直线

l^{'}

，则直线

l

与

l^{'}

之间距离为______
6、已知两直线

l_{1} : m x + 8 y + n = 0 ， l_{2} : 2 x + m y - 1 = 0

，若

l_{1} ⊥ l_{2}

，

l_{1}

在

y

轴上的截距为-1，则m=______，n=______
7、直线

l_{1} : x + 3 y - 7 = 0 ， l_{2} : k x - y - 2 = 0

与

x

轴、

y

轴的正半轴所围成的四边形有外界圈，则

k

的值为______
8、已知P是直线

l

上一点，将直线

l

绕P点逆时针方向旋转

θ (0 < θ < \frac{π}{2})

所得直线为

l_{1} : 3 x - y - 22 = 0

.若继续绕P点逆时针方向旋转

\frac{π}{2} - θ

角，得直线

l_{2} : 2 x + 3 y - 11 = 0

.求直线

l

的方程.

参考答案

1、若直线

a x + 2 y - 1 = 0

与

x + (a - 1) y + a^{2} = 0

平行，则a的值为(   )
    A.-1     B.2     C.-1和2     D.0和1
　　答案：Ｂ
    2、下列命题：①若直线平行，则其斜率相等；②若两直线互相垂直，则其斜率的积等于-1；③垂直与x轴的直线平行于y轴。其中正确的命题个数为(   )
    A.0      B.1      C.2       D.3
　　答案：Ａ
    3、直线

l_{1} : x + m y + 6 = 0

与

l_{2} : (m - 2) x + 3 y + 2 m = 0

只有一个公共点，则有( )
A.

m \neq - 1 且 m \neq 3

m \neq - 1 且 m \neq - 3

m \neq 1 且 m \neq 3

m \neq 1 且 m \neq - 3

　　答案：Ａ
4、若三条直线

l_{1} : x + 2 y - 5 = 0 ， l_{2} : 2 x - 3 y + 4 = 0 ， l_{3} : a x + y = 0

不能围成三角形，则

a

的值为＿＿＿
　　答案：

\frac{1}{2} 或 - \frac{2}{3} 或 - 2

5、将直线

l : x + 2 y - 1 = 0

向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到直线

l^{'}

，则直线

l

与

l^{'}

之间距离为＿＿＿．
　　答案：

\frac{\sqrt[]{5}}{5}

6、已知两直线

l_{1} : m x + 8 y + n = 0 ， l_{2} : 2 x + m y - 1 = 0

，若

l_{1} ⊥ l_{2}

，

l_{1}

在

y

轴上的截距为-1，则m=＿＿＿，n=＿＿＿＿．
　　答案：0，８
7、直线

l_{1} : x + 3 y - 7 = 0 ， l_{2} : k x - y - 2 = 0

与

x

轴、

y

轴的正半轴所围成的四边形有外界圈，则

k

的值为＿＿＿．
　　答案：３
8、已知P是直线

l

上一点，将直线

l

绕P点逆时针方向旋转

θ (0 < θ < \frac{π}{2})

所得直线为

l_{1} : 3 x - y - 22 = 0

.若继续绕P点逆时针方向旋转

\frac{π}{2} - θ

角，得直线

l_{2} : 2 x + 3 y - 11 = 0

.求直线

l

的方程.
　　答案：

3 x - 2 y - 23 = 0

提高训练

　　1、已知点M(0，-1)，N在

x - y + 1 = 0

上，且直线MN平行与直线2x-y-3=0，则N点的坐标为( )
　　A.(-2，-3) B.(2，1) C.(2，3) D.(-2，-1)
　　2、已知直线

l

与

l^{'} : 2 x - y + 4 = 0

的夹角为

45^{。}

，且

l

与

l^{'}

的交点在

x

轴上，则

l

的方程为______
　　3、光线从点A(-3，4)射出，经

x

轴上的B，在

x

轴上反射后交

y

轴上点C，再经C从

y

轴反射恰好过点D(-1，6)，求点B与C的坐标。
　　4、已知定点P(6，4)，直线

l : y = 4 x

，过P点的动直线与

x

轴的正半轴交于点

M

，与

l

在第一象限交于点Q，O为坐标原点，当

Δ M O Q

的面积最小时，求直线

P Q

的方程.

参考答案

1、已知点M(0，-1)，N在

x - y + 1 = 0

上，且直线MN平行与直线2x-y-3=0，则N点的坐标为( )
　　A.(-2，-3) B.(2，1) C.(2，3) D.(-2，-1)
　　答案：C
　　2、已知直线

l

与

l^{'} : 2 x - y + 4 = 0

的夹角为

45^{。}

，且

l

与

l^{'}

的交点在

x

轴上，则

l

的方程为______
　　答案：

x - 3 y + 2 = 0 或 3 x + y + 6 = 0

　　3、光线从点A(-3，4)射出，经

x

轴上的B，在

x

轴上反射后交

y

轴上点C，再经C从

y

轴反射恰好过点D(-1，6)，求点B与C的坐标。
　　答案：

B (- \frac{7}{5} ， 0)

(0 ， \frac{7}{2})

　　4、已知定点P(6，4)，直线

l : y = 4 x

，过P点的动直线与

x

轴的正半轴交于点

M

，与

l

在第一象限交于点Q，O为坐标原点，当

Δ M O Q

的面积最小时，求直线

P Q

的方程.
答案：

x + y - 10 = 0

    学习感悟
    1、要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意对 $x 、 y$ 项系数可能为零的情况进行进行讨论。
    2、对“到角”或“夹角”公式必须注意，其一条直线的斜率不存在的情况，以及 $1 + k_{1} k_{2} = 0$ 的情况。
    3、中心对称问题

(1)点 $(x ， y)$ 关于定点 $(a ， b)$ 的对称点 $(2 a - x ， 2 b - y)$ 。

(2)曲线 $C ： f (x ， y) = 0$ ，关于点 $A (a ， b)$ 的对称曲线 $C_{1}$ 的方程为 $f (2 a - x ， 2 b - y) = 0$ 。
4、轴对称问题

(1)点 $P (x ， y)$ 关于直线 $l : A x + B y + C = 0 (B \neq 0)$ 对称点为 $P^{'} (x_{1} ， y_{1})$ ，则 $k_{l} k (P P') = - 1$ ，且 $P' P$ 的中点在 $l$ 上。

(2)关于直线的对称分两种情况：当两直线平行时，用平行直线间的距离公式；当两直线相交时，用直线到直线的角的公式求斜率来解决。
5、运用直线系设置方程

6、直线系方程可简化解答过程。
7、过程两条直线的位置关系时要注意数形结合，依据条件画出图形，注意平面几何知识，挖掘某些隐含条件，有利化简运算。

本课件完全公益，使用过程中有任何问题，或想参与新课件制作，请加开心教练QQ：29443574。