§7.1 直线的方程

第七章直线和圆的方程
§7.1 直线的方程

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
理解直线倾斜角和斜率的概念；掌握过两点的直线的斜率公式；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。

二、重点难点

三、特别提示
1、斜率与倾斜角的相互转化
　　① $α \neq$ 90°，k=tan $α$ ；
　　②斜率值与倾斜角值的转化；
　　③斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合 $y = tan x$ 在 $[0 ， π)$ 和 $(\frac{π}{2} ， π)$ 的变化规律，以及反三角函数的表示．
　　2、直线方程的三类、五种形式，要合理选用点斜式(含斜截式)，两点式(含截距式)，一般式．要深刻理解每种直线方程形式的适用范围，此时多涉及分类讨论的思想，如点斜式及斜截式的使用条件是直线斜率必须存在；两点式使用条件时直线既不与x轴垂直，也不与y轴垂直；截距式使用条件是两截距都存在且均不为零．
　　3、确定直线的方程有两条途径：一是用直线方程的五种形式，主要是待定系数法；二是用轨迹的定义，从直线的几何性质出发，建立方程，确定直线方程一般需要两个独立条件．

    知识梳理
    1、直线的倾斜角和斜率
    (1)以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．
    (2)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到河直线重合时所转的最小正角记为

α

，那么

α

就叫做直线的倾斜角．
规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角

α

0^{。}

．
因此，直线的倾斜角的取值范围是

[0^{。} ， 180^{。})

．
　　(3)斜率：倾斜角不是

90^{。}

的直线，它的斜率角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan

α

．倾斜角是90°的直线，斜率

k

不存在．
　　(4)斜率公式：当直线l经过两点

P_{1} (x_{1} ， y_{1}) 、 P_{2} (x_{2} ， y_{2})

时，l的斜率

k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

．
2、直线的方向向量
经过两点

P_{1} (x_{1} ， y_{1}) 、 P_{2} (x_{2} ， y_{2})

的直线的方向向量为

\vec{p_{1} p_{2}}

，其坐标为

(x_{2} - x_{1} ， y_{2} - y_{1})

．当斜率

k

存在时，方向向量的坐标可记为

(1 ， k)

．
3、直线方程的三种形式
　　(1)点斜式：

y - y_{1} = k (x - x_{1})

表示经过点

(x_{1} ， y_{1})

的直线．
特例：

y = k x + b

表示过点

(0 ， b)

，斜率为

k

的直线，其中

b

表示直线在

y

轴上的截距，该方程叫直线方程的斜截式．
　　(2)两点式：

\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}

表示经过两点

P_{1} (x_{1} ， y_{1}) 、 P_{2} (x_{2} ， y_{2})

的直线．
特例：

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

(ab≠0)，其中a、b分别表示直线在x轴，y轴上的截距，该方程叫直线方程的截距式．
　　(3)一般式：

A x + B y + C = 0

(其中A、B不同时为0)．
4、直线的斜率与导数的几何意义
函数y=f(x)在x=

x_{0}

处的导数即曲线y=f(x)在点

(x_{0} ， f (x_{0}))

处切线的斜率．

    应用举例
    一、应用特点
    1、求直线的方程；
    2、求直线斜率倾斜角的范围；
    3、直线方程的综合应用.

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、求满足下列条件的直线方程：

(1)通过点 $(- 2 ， 2)$ ，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程：

(2)已知直线 $l_{1} : 2 x + y - 6 = 0$ 和点A(1，-1)，过点 $A$ 做直线l与已知直线 $l_{1}$ 相交与B点，且 $| A B | = 5$ ，求直线 $l$ 的方程.

提示	示范
(1)中的l在两坐标轴上的截距存在，可由截距式求l； (2)中l可由点斜式去求，但要考虑斜率不存在的情况.
解:(1)由题设，设所求直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ，由已知可得 ${\begin{cases} - \frac{2}{a} + \frac{2}{b} = 1 \\ \frac{1}{2} \| a \| \| b \| = 1 \end{cases}$ ，解得 ${\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 2 \end{cases}$ 或 ${\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases}$ $∵ 2 x + y + 2 = 0$ 或x+2y-2=0为所求. (2)过点A(1，-1)与y轴平行的直线为x=1，解方程组 ${x = 1, 2x+y-6=0$ 得B点坐标为(1，4)，此时\|AB\|=5，即x=1为所求. 设点A(1，-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1)，解方程组 ${2 x + y - 6 = 0, y+1=k(x-1)$ 得两直线的交点 ${\begin{cases} x = \frac{k + 7}{k + 2} \\ y = \frac{4 k - 2}{k + 2} \end{cases}$ ( $k \neq - 2$ ，否则与已知直线平行) 由已知 ${(\frac{k + 7}{k + 2} - 1)}^{2} + {(\frac{4 k - 2}{k + 2} + 1)}^{2} = 5^{2}$ ，解得 $k = - \frac{3}{4}$ $∴ y + 1 = - \frac{3}{4} (x - 1)$ ，即 $3 x + 4 y + 1 = 0$ 为所求. 评注:利用截距求面积要带上绝对值符号；利用待定系数法设直线方程时可能由于所用方程的形式，设出时就漏掉了斜率不存在的情况.一般地，过点 $P_{0} (x_{0} ， y_{0})$ 的直线应设为 $x = x_{0}$ 或 $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ ，否则会出错。

2、已知直线l过点P(-1，2)，且与以A(-2，-3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.

提示	示范
运用数形结合或定比分点坐标公式求解.
解:如右图，直线PA的斜率 $k_{P A} = \frac{2 - (- 1)}{- 1 - (- 2)} = 5$ 。直线PB的斜率 $k_{P B} = \frac{0 - 2}{3 - (- 1)} = - \frac{1}{2}$ 。当直线l绕点P由PA旋装到与y轴平行的位置时，它的斜率变化范围是 $[5 ， + \infty)$ ，当直线l绕PC旋转到PB的位置时，它的斜率变化范围是 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$ 故斜率l的取值范围是 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] \cup [5 ， + \infty)$ 。评注: 数形结合是解析几何的重要方法，解题时，借助图形及性质，直观作出判断，明确解题思路，达到解题目的.

    3、已知P(-3，4)，一直线l过P点。
    (1)若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程；
    (2)若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；
    (3)若直线l与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，试求

Δ O A B

面积的最小值及此时直线l的方程。

提示	示范
本题主要运用直线方程的求法、直线的截距以及利用均值不等式求最小值，在解题时分清“截距”与“距离”的区分。
解:(1)不难知道斜率为-1及过原点两种情况形下能使直线l在两坐标轴上的截距相等，即l的方程为x+y-1=0及4x+3y=0。 (2)设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 $u - 4 = k (x + 3)$ ，令x=0得y=3k+4；令y=0得 $x = - \frac{4}{k} - 3$ . 由条件知 $(3 k + 4) + (- \frac{4}{k} - 3) = 12$ 。 $3 k^{2} - 11 k - 4 = 0$ ， $∴ k = 4 或 k = - \frac{1}{3}$ 。所求直线l的方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0。 (3)由(2)得 $S = \frac{1}{2} (3 k + 4) (\frac{4}{k} + 3) (k > 0) = \frac{1}{2} (24 + \frac{16}{k} + 9 k) \geq \frac{1}{2} (24 + 2 \sqrt[]{\frac{16}{k} \times 9 k} = 24$ 。当且仅当 $\frac{16}{k} = 9 k ， k = \frac{4}{3}$ 时，等号成立，故 $Δ O A B$ 面积的最小值为24，此时直线l的方程为4k-3y+24=0。评注:求直线的方程一直是高考命题的热点，它可以单独考查也可以与其他知识综合考查，一般以选择题、解答题的形式出现。

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、求过点

(- 2 ， 2)

且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线方程．

提示	示范
l在两坐标轴上的截距存在，可由截距式求l
解:方法一：由题设，设所求直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ，由已知可得 ${\begin{cases} - \frac{2}{a} + \frac{2}{b} = 1 \\ \frac{1}{2} \| a \| \| b \| = 1 \end{cases}$ ，解得 ${\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 2 \end{cases}$ 或 ${\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases}$ $∵ 2 x + y + 2 = 0$ 或x+2y-2=0为所求. 方法二：因为直线在两坐标轴上的截距均存在，故直线斜率存在且不为0，故可设直线方程为 $y - 2 = k (x + 2)$ 令x=0可得与y轴的交点坐标 $y = 2 k + 2$ ，即 $(0 ， 2 k + 2)$ ．另y=0可得与x轴的交点坐标 $(- \frac{2}{k} - 2 ， 0)$ ，故由题意可得 $S = \frac{1}{2} \| 2 + 2 k \| \| - \frac{2}{k} - 2 \| = 1$ ，解得 $k = - 2$ 或 $k = - \frac{1}{2}$ ． ∴所求直线的方程为 $y - 2 = - 2 (x + 2)$ 或 $y - 2 = - \frac{1}{2} (x + 2)$ ，即 $2 x + y + 2 = 0$ 或 $x + 2 y - 2 = 0$ 评注:利用截距求面积要带上绝对值符号，利用待定系数法设直线方程时，注意所用方程的形式，设直线方程时要注意斜率的存在性，求解时要防止漏解．

2、若点

A (2 ， - 3)

、

B (- 3 ， - 2)

，直线l经过点

P (1 ， 1)

且与线段AB相交，求直线l的倾斜角及斜率的取值范围．

提示

示范

解:结合图像，知直线l与线段AB有交点，

方法一：只需直线l从PB逆时针绕P转到直线PA，而

k_{P B} = \frac{3}{4} ， k_{P A} = - 4

，在这个旋转过程中，l的斜率由

k_{P B}

变化到无穷大，又由负无穷大变化到

k_{P A}

，所以斜率的范围是

(- \infty ， - 4] \cup [\frac{3}{4} ， + \infty)

。倾斜角的范围是

[a r c tan (\frac{3}{4}) ， π - a r c tan 4]

．

方法二：由线性规划思想，A、B两点有一点在直线l上或分布在直线两侧，当直线l斜率存在时设为k，则其方程为 $y - 1 = k (x - 1)$ ，即 $k x - y - k + 1 = 0$ ，则应有下式成立： $[(- 3) k - (- 2) - k + 1] [2 k - (- 3) - k + 1] \leq 0$ ，解得 $k \leq - 4$ 或 $k \geq \frac{3}{4}$ ，即直线l斜率的取值范围是 $(- \infty ， - 4] \cup [\frac{3}{4} ， + \infty)$ ，倾斜角范围是 $[a r c tan (\frac{3}{4}) ， π - a r c tan 4]$ ．
答案：l的斜率的取值范围是 $(- \infty ， - 4] \cup [\frac{3}{4} ， + \infty)$ ，倾斜角的范围是 $[a r c tan (\frac{3}{4}) ， π - a r c tan 4]$ ．

评注:在处理斜率范围和倾斜角范围问题时，由于涉及到正切函数的单调性和单调区间问题，学生往往容易出错，此时应该将角的区间分为 $[0 ， \frac{π}{2})$ 和 $(\frac{π}{2} ， π)$ ，分别与斜率值中的非负值和负数值部分对应，如 $k \in [- 1 ， 1]$ 可分为 $[- 1 ， 0)$ 和 $[0 ， 1]$ ，然后分别对应 $[\frac{3 π}{4} ， π)$ 和 $[0 ， \frac{π}{4}]$ ．

拓展探究
若

- \frac{π}{2} < α < 0

，则直线

x tan α - y = 0

的倾斜角为( )
A．

- α

B．

\frac{π}{2} + α

C．

π + α

D．

\frac{π}{2} - α

提示	示范
用 $α$ 表示出斜率.
解:直线斜率 $k = tan α$ ， ∵倾斜角 $0 < θ < π$ ， $- \frac{π}{2} < α < 0$ ， $k = tan α = tan (π + α)$ ， $\frac{π}{2} < α + π < π$ ， ∴ $θ = α + π$ ．答案：C 评注:此种类型的题目需注意直线倾斜角的范围及三角函数部分诱导公式的应用，诱导共识的应用是解决此题的难点

基础训练

    1、过点A(1，4)，且横纵截距的绝对值相等的直线共有(   )
    A．1条    B.2条    C.3条    D.4条
    2、过直线

4 x + \sqrt[]{2} y = 12

与x轴的交点，且倾斜角等于该直线倾斜角一半的直线方程为( )
A.

\sqrt[]{2} x - y - 3 \sqrt[]{2} = 0

\sqrt[]{2} x + y - 3 \sqrt[]{2} = 0

\sqrt[]{2} x + y + 3 \sqrt[]{2} = 0

\sqrt[]{2} x - y + 3 \sqrt[]{2} = 0

3、光线由点P(2，3)射到直线

x + y = - 1

上，反射后过点Q(1，1)，则反射光线所在直线方程为(   )
    A.x-y=0    B.4x-5y+31=0    C.4x-5y+1=0    D.5x-4y-1=0
    4、过直线

l_{1} : x - 2 y + 3 = 0

上一点A(3，3)作一条直线

l_{2}

，使

l_{1} 、 l_{2}

与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则

l_{2}

的方程是(   )
    A.x-2y-9=0     B.x-2y+9=0    C. x+2y-9=0    D. x+2y+9=0
    5、过点(1，2)且倾斜角的正弦值为

\frac{4}{5}

的直线方程是______.
6、已知A(3，2)、B(-5，6)、C(7，-6)，D、E两点分别在线段AB和AC上，DE平行与BC，且

Δ A D E

与梯形DECB的面积之为1：3，则直线DE的方程为______.
7、已知

{(x ， y) | (m + 3) x + y = 3 m + 4} \cap {(x ， y) | 7 x + (5 - m) y - 8 = 0} = \emptyset

，则直线

(m + 3) x + y = 3 m + 4

与坐标轴围成的三角形面积是______.
8、已知A(4，-3)与B(2，-1)关于直线l对称，在l上求一点P，使P点到直线4x+3y-2=0的距离等于2

参考答案

    1、过点A(1，4)，且横纵截距的绝对值相等的直线共有(   )
    A．1条    B.2条    C.3条    D.4条
　　答案：C
    2、过直线

4 x + \sqrt[]{2} y = 12

与x轴的交点，且倾斜角等于该直线倾斜角一半的直线方程为( )
A.

\sqrt[]{2} x - y - 3 \sqrt[]{2} = 0

\sqrt[]{2} x + y - 3 \sqrt[]{2} = 0

\sqrt[]{2} x + y + 3 \sqrt[]{2} = 0

\sqrt[]{2} x - y + 3 \sqrt[]{2} = 0

　　答案：Ａ
3、光线由点P(2，3)射到直线

x + y = - 1

上，反射后过点Q(1，1)，则反射光线所在直线方程为(   )
    A.x-y=0    B.4x-5y+31=0    C.4x-5y+1=0    D.5x-4y-1=0
　　答案：C
    4、过直线

l_{1} : x - 2 y + 3 = 0

上一点A(3，3)作一条直线

l_{2}

，使

l_{1} 、 l_{2}

与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则

l_{2}

的方程是(    )
    A.x-2y-9=0     B.x-2y+9=0    C. x+2y-9=0    D. x+2y+9=0
　　答案：C 　　
    5、过点(1，2)且倾斜角的正弦值为

\frac{4}{5}

的直线方程是______.
　　答案：

4 x - 3 y + 2 = 0 ， 4 x + 3 y - 10 = 0

6、已知A(3，2)、B(-5，6)、C(7，-6)，D、E两点分别在线段AB和AC上，DE平行与BC，且

Δ A D E

与梯形DECB的面积之为1：3，则直线DE的方程为______.
　　答案：

x + y - 3 = 0

7、已知

{(x ， y) | (m + 3) x + y = 3 m + 4} \cap {(x ， y) | 7 x + (5 - m) y - 8 = 0} = \emptyset

，则直线

(m + 3) x + y = 3 m + 4

与坐标轴围成的三角形面积是______.
　　答案：２
8、已知A(4，-3)与B(2，-1)关于直线l对称，在l上求一点P，使P点到直线4x+3y-2=0的距离等于2
　　答案：略

提高训练

1、若直线

(m^{2} - 1) x - y + 1 - 2 m = 0

不过第一象限，则实数m取值范围是( )
A.

- 1 < m \leq \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} \leq m \leq 1

\frac{1}{2} < m < 1

\frac{1}{2} \leq m \leq 1

2、直线

a x + b y + c = 0

与直线

d x + e y + c = 0

的交点为(3，-2)，则过点

(a ， b) ， (d ， e)

的直线方程是______.
3、已知直线

(a - 2) y = (3 a - 1) x - 1

，
(1)求证：无论

a

为何实数，直线总过第一象限；
(2)为使这条直线不过第二象限，求

a

的取值范围。
4、过点

P (1 ， 4)

引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程。

参考答案

　　1、若直线

(m^{2} - 1) x - y + 1 - 2 m = 0

不过第一象限，则实数m取值范围是( )
A.

- 1 < m \leq \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} \leq m \leq 1

\frac{1}{2} < m < 1

\frac{1}{2} \leq m \leq 1

答案：D
2、直线

a x + b y + c = 0

与直线

d x + e y + c = 0

的交点为(3，-2)，则过点

(a ， b) ， (d ， e)

的直线方程是______.
答案：

3 x - 2 y + C = 0

3、已知直线

(a - 2) y = (3 a - 1) x - 1

，
(1)求证：无论

a

为何实数，直线总过第一象限；
(2)为使这条直线不过第二象限，求

a

的取值范围。
答案：(1)略 (2)

a \geq 2

4、过点

P (1 ， 4)

引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程。
答案：

2 x + y - 6 = 0

学习感悟
1、当直线与y轴垂直时，规定其倾斜角为0°y轴及与y轴平行的直线都没有斜率，但所有的直线都有倾斜角。

2、当倾角 $α \neq 90^{。}$ 时，直线的斜率 $k = tan α = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .公式中k的值与直线上两点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ 的顺序无关。

3、直线方程的点斜式和斜截式和斜截式只能表示有斜率的直线，用来求过定点 $(x_{1} ， y_{1})$ 的直线方程时，应注意不要忘记考虑直线 $x = x_{1}$ 。

4、斜截式是点斜式的特例、斜截距是指直线在y轴上的截距，截距不是距离，它可以取实数中的任意值。

5、两点式不能表示与坐轴垂直的直线；截距式既不能表示与坐标轴垂直的直线，也不能表示过原点的直线。

6、直线方程的一般式可以表示任何的一条直线；直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式。

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