§4.5 三角函数的图象和性质

第四章三角函数
§4.5 三角函数的图象和性质

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
1、了解正弦、余弦、正切函数图象，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

y = A sin (ω x + ϕ)

的简图，理解

A

，

ω

，

ϕ

的物理意义；

2、理解周期函数与最小正周期的意义；

3、理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；

4、会用已知三角函数值求角，并会用符号

a r c sin x 、 a r c cos x 、 a r c tan x

表示．

二、重点难点
重点:会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 $y = A sin (ω x + ϕ)$ 的简图，理解周期函数与最小正周期的意义；

难点:三角函数图象与性质的综合应用.

三、特别提示
1、理解和掌握三角函数线，是学习和研究三角函数的图象和性质的基础，从角的终边到单位圆上的点，从单位圆上的点到有向线段(三角函数线)，再到三角函数值，一步步的转化要理解透彻．
2、三角函数的周期性，既是造成三角问题复杂化的根源，又是用以处理三角问题的工具，只有抓住三角函数的周期性，才能理解和把握三角问颢的关键和方法．
3、有关三角函数的定义域与值域问题，最大值、最小值问题，通常把已知解析式化成 $y = A sin (ω x + ϕ) + b$ ，或者配方转化成关于 $sin x$ 或 $cos x$ 的二次函数，再根据函数图象求解．
4、在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母 $x$ 本身而言的，无论沿 $x$ 轴平移还是伸缩，变化的总是 $x$ ．

知识梳理
1、正弦曲线

y = sin x

的变换

    $y = sin (ω x + ϕ) \to y = sin A (ω x + ϕ) < - y = sin (ω x + ϕ)$
    $A > 1$ ，纵坐标扩大为原来的 $A$ 倍，
    $0 < A < 1$ ，纵坐标缩小为原来的 $\frac{1}{A}$ ．
    2、三角函数的图象和性质如下：

解析式	$y = sin x$	$y = cos x$	$y = tan x$
图象
定义域	$ℝ$	$ℝ$	${x \| x \in ℝ$ ，且 $x \neq k π + \frac{π}{2}$ ， $k \in Z}$
值域	[-1，1]	[-1，1]	$ℝ$
最值	当 $k = 2 k π - \frac{π}{2} (k \in Z)$ 时， $y_{min} = - 1$ ；当 $k = 2 k π + \frac{π}{2} (k \in Z)$ 时， $y_{max} = 1$ ；	当 $k = 2 k π (k \in Z)$ 时， $y_{max} = 1$ ；当 $k = 2 k π + \frac{π}{2} (k \in Z)$ 时， $y_{min x} = - 1$ ；	无最大值和最小值
周期性	$2 π$	$2 π$	$π$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
单调性	在 $[2 k π - \frac{π}{2} ， 2 k π + \frac{π}{2}]$ 上是增函数，在 $[2 k π + \frac{π}{2} ， 2 k π + \frac{3 π}{2}]$ 上是减函数 $(k \in Z)$	在 $[2 k π - π ， 2 k π]$ 上是增函数；在 $[2 k π ， 2 k π + π]$ 上是减函数 $(k \in Z)$	在 $[k π - π ， k π + π]$ 上是增函数
对称性	对称中心 $(k π$ ，0)，对称轴 $l : x = k π + \frac{π}{2} (k \in Z)$	对称中心 $(k π + \frac{π}{2}$ ，0)，对称轴 $l : x = k π (k \in Z)$	对称中心 $(\frac{k π}{2} ， 0) (k \in Z)$ ，对称轴:无

3、函数 $y = sin A (ω x + ϕ)$ 和 $y = cos A (ω x + ϕ)$ 的周期 $T = \frac{2 π}{| ω |}$ ；函数 $y = tan A (ω x + ϕ)$ 和函数 $y = cot A (ω x + ϕ)$ 的周期 $T = \frac{π}{| ω |}$ ．

    应用举例
    一、应用特点
    1、函数 $y = A sin (ω x + ϕ)$ 的图象变换
    2、根据函数图象写解析式
    3、根据三角函数解析式求周期、最值、单调区间

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + \sqrt[]{3} sin x cos x + 2 {cos}^{2} x$ ， $x \in R$ ．
    (1)求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；
    (2)函数 $f (x)$ 的图象可以由函数 $y = sin 2 x (x \in R)$ 的图象经过怎样的变换得到？

提示	示范
通过降幂将 $f (x)$ 化为 $a sin 2 x + b cos 2 x$ 的形式，然后求解．
解:(1) $f (x) = \frac{1 - cos 2 x}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} sin 2 x + (1 + cos 2 x)$ = $\frac{\sqrt[]{3}}{2} sin 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{3}{2}$ = $sin (2 x + \frac{π}{6}) + \frac{3}{2}$ ∴ $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{2 π}{2} = π$ 由题意得 $2 k π - \frac{π}{2} \leq 2 x + \frac{π}{6} \leq 2 k π + \frac{π}{2}$ ， $k \in Z$ 即 $k π - \frac{π}{3} \leq x \leq k π + \frac{π}{6}$ ， $k \in Z$ ∴ $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}] ， k \in Z$ (2)方法一：先把 $y = sin 2 x$ 图象上所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，再把所得图象上所有的点向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位长度，就得到 $y = sin (2 x + \frac{π}{6}) + \frac{3}{2}$ 的图象．方法二：把 $y = sin 2 x$ 图象上所有的点按向量 $\vec{a} = (- \frac{π}{12} ， \frac{3}{2})$ 平移，就得到 $y = sin (2 x + \frac{π}{6}) + \frac{3}{2}$ 的图象．评注:对于三角函数的最值和图象变换问题，一般是通过化简将函数化为 $y = A sin (ω x + ϕ)$ 的形式，然后由 $y = sin 2 x$ 进行平移和伸缩变换．但要注意平移变换和伸缩变换的次序不同，平移单位就不同，这是易错点，需加以注意．

2、如图，函数

y = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0)

的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为

(\frac{5 π}{12} ， 3)

和

(\frac{11 π}{12} ， - 3)

，求该函数的解析式.

提示	示范
图形的最高点、最低点以及与z轴的交点是解题的关键点
解:依题意知 $A = 3$ 设最小正周期为 $T$ ，则 $\frac{T}{2} = \frac{11 π}{12} - \frac{5 π}{12} = \frac{π}{2}$ ∴ $T = π$ ，又 $T = \frac{2 π}{ω}$ ∴ $ω = 2$ ∴函数解析式为 $y = 3 sin (2 x + ϕ)$ 从图象特征看，我们可以将 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 看作第一个关键点则有 $ω x + ϕ = 2 \times \frac{π}{6} + ϕ = 0$ ，解得 $ϕ = - \frac{π}{3}$ ∴ $y = 3 sin (2 x - \frac{π}{3})$ 评注:这类题目难点在于 $ϕ$ 的确定，从图象特征及五点法中五点的取法规律，找准关键点，对应取值即可

3、已知函数

f (x) = sin (ω x + ϕ) (ω > O ， 0 \leq ω \leq π)

是R上的偶函数，其图象关于点

M (\frac{3 π}{4} ， 0)

对称，且在区间

[0 ， \frac{π}{2}]

上是单调函数，求

ϕ

和

ω

的值.

提示	示范
本题求解的关键是利用图象的性质把题中的条件合理恰当地运用，对称轴经过最值点，对称中心是零点.
解:由 $f (x)$ 是偶函数，得 $f (- x) = f (x)$ 即 $sin (- ω x + ϕ) = sin (ω x + ϕ)$ 所以 $- cos ϕ sin ω x = cos ϕ sin ω$ 对任意 $x$ 都成立又 $ω > O$ ∴ $cos ϕ = 0$ 依题设 $0 \leq ω \leq π$ ∴解得 $ϕ = \frac{π}{2}$ ．由 $f (x)$ 的图象关于点 $M$ 对称，得 $f (\frac{3 π}{4} - x) = - f (\frac{3 π}{4} + x)$ 取 $x = 0$ ，得 $f (\frac{3 π}{4}) = - f (\frac{3 π}{4})$ ∴ $f (\frac{3 π}{4}) = 0$ ∵ $f (\frac{3 π}{4}) = sin (\frac{3 ω x}{4} + \frac{π}{2}) = \frac{cos (3 ω x)}{4}$ ∴ $\frac{cos (3 ω x)}{4}$ .又 $ω > 0$ ∴ $\frac{3 ω x}{4} = \frac{π}{2} + k π, k = 0 ， 1 ， 2 ， \dots$ ∴ $ω = \frac{2}{3} (2 k + 1) ， k = 0 ， 1 ， 2 ， \dots$ 当 $k = 0$ 时， $ω = \frac{2}{3}$ ， $f (x) = sin (\frac{2}{3} x + \frac{π}{2})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是减函数；当 $k = 1$ 时， $ω = 2$ ， $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{2})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是减函数；当 $k \geq 2$ 时， $ω \geq \frac{10}{3}$ ， $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{2})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上不是单调函数．综上所述， $ω = \frac{2}{3}$ 或 $ω = 2$ ．评注:在函数 $y = A sin (ω x + ϕ)$ 中，对称轴必为经过最值点且垂直于 $x$ 轴的直线，零点必为对称中心．

实践体验
在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高.

    1、用五点作图法画出函数 $y = \sqrt[]{3} sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2})$ 的图象，并说明这个图象是由 $y = sin x$ 的图象经过怎样的变换得到

    提示示范　

    (提示内容)

    解:利用五点作图法，首先将函数解析式化简为 $y = 2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ ，然后用换元法令 $\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = 0$ 、 $\frac{π}{2}$ 、 $π$ 、 $\frac{3 π}{2}$ 、 $2 π$ ，描出坐标系中的相关点，再用平滑的曲线连接这五个点，最后向两边伸展．
    ∵ $y = \sqrt[]{3} sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) = 2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ ，
    令 $α = \frac{x}{2} + \frac{π}{6}$ ，列表如下：

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6}$

$0$

$\frac{π}{2}$

$π$

$\frac{3 π}{2}$

$2 π$

$x$

$- \frac{π}{3}$

$\frac{2 π}{3}$

$\frac{5 π}{3}$

$\frac{8 π}{3}$

$\frac{11 π}{3}$

$y = sin 2 x$

$0$

$2$

$0$

$- 2$

$0$

    在坐标系中描出相应的五点： $(- \frac{π}{3} ， 0) ， (\frac{2 π}{3} ， 2) ， (\frac{5 π}{3} ， O) ， (\frac{8 π}{3} ， - 2), (\frac{2 π}{3}, 0)$ ．再用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后将其向两端伸展一下，如图，将 $y = sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图象，再将 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到 $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ 的图象；再将 $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即得 $y = 2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ 的图象．

评注:(1)作三角函数图象的方法有五点作图法和图象变换法以及三角函数线画法，其中以五点作图法和图象变换法为主．
    (2)用“五点法”作正、余弦函数的图象要抓住四点：
    ①化为正弦型 $y = A sin (ω x + ϕ)$ 或余弦型 $y = A cos (ω x + ϕ)$ ；
    ②周期 $T = \frac{2 π}{| ω |}$ 等；
    ③振幅 $A (A > 0) \Rightarrow$ 最大值 $A$ 和最小值 $- A$ ；
    ④列出一个周期的五个特殊点．
(3)一般的三角函数图象变换包括相位变换、周期变换、振幅变换，还可能涉及到上下平移变换．这变换在顺序上是不确定的，一般采用先相位(左右平移)变换，再周期变换，后振幅变换的顺序．

    2、如图， $y = A sin (ω x + ϕ)$ 图象的一段，求其解析式．


    提示示范　

    首先确定 $A$ ，若以 $N$ 为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于 $y = - sin x$ 的图象)，所以 $A < O$ ；若以 $M$ 点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于 $y = sin x$ 的图象)，所以 $A > 0$ ．而 $ω = \frac{2 π}{T}$ ， $ϕ$ 可由相位来确定．

    解:方法一：以 $N$ 为第一个零点，则 $A = - \sqrt[]{3}, T = 2 (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) = π$
    ∴ $ω = 2$ ，此时解析式为 $y = - \sqrt[]{3} sin (2 x + ϕ)$
    ∵点 $N (- \frac{π}{6} ， 0)$
    ∴ $- \frac{π}{6} \times 2 + ϕ = 0 \Rightarrow ϕ = \frac{π}{3}$
    所求解析式为 $y = - \sqrt[]{3} sin (2 x + \frac{π}{3})$ ①
    方法二：以点 $M (\frac{π}{3} ， 0)$ 为第一个零点，
    则 $A = - \sqrt[]{3} ， ω = \frac{2 π}{T} = 2$
    解析式为 $y = \sqrt[]{3} sin (2 x + ϕ)$
    将点 $M$ 的坐标代入，得 $\frac{π}{3} \times 2 + ϕ = 0 \Rightarrow ϕ = - \frac{2 π}{3}$
    所求解析式为 $y = - \sqrt[]{3} sin (2 x - \frac{2 π}{3})$ ②
评注:(1)①与②是一致的，由①可得②，事实上 $y = - \sqrt[]{3} sin (2 x + \frac{π}{3}) = - \sqrt[]{3} sin (2 x + π - \frac{2 π}{3})$ = $\sqrt[]{3} sin (2 x - \frac{2 π}{3})$ ，同样由②也可得①．
    (2)由此题两种解法可见，在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是重要的，应尽量使 $A$ 取正值．
(3)已知函数图象求函数 $y = A sin (ω x + ϕ) (A > O ，$ $ω > 0)$ 的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 $A$ ，由周期确定 $ω$ ，由适合解析式的点的坐标来确定 $ϕ$ ，但由图象求得的 $y = A sin (ω x + ϕ)$ $(A > 0 ， ω > 0)$ 的解析式一般不唯一，只有限定 $ϕ$ 的取值范围，才能得出唯一解，否则 $ϕ$ 的值不确定，解析式也就不唯一．
(4)将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数 $A ， ω ， ϕ$ ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：
    “第一点”(即图象上升时与 $x$ 轴的交点)为 $ω x + ϕ = 0$ ；
    “第二点”(即图象曲线的最高点)为 $ω x + ϕ = \frac{π}{2}$ ；
    “第三点”(即图象下降时与z轴的交点)为 $ω x + ϕ = π$ ；
    “第四点”(即图象曲线的最低点)为 $ω x + ϕ = \frac{3 π}{2}$ ；
    “第五点”为 $ω x + ϕ = 2 π$ ．

拓展探究
已知函数

f (x) = \frac{6 {cos}^{4} x + 5 {sin}^{2} x - 4}{cos 2 x}

，求

f (x)

的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

提示	示范
(提示内容)
解:由 $cos x \neq o$ ，得 $2 x \neq k π + \frac{π}{2} ， k \in ℤ$ ，解得 $x \neq \frac{k π}{2} + \frac{π}{4} ， k \in ℤ$ ．所以 $f (x)$ 的定义域为 ${x \| ξ n ℝ 且 x \neq \frac{k π}{2} + \frac{π}{4} ， k \in ℤ}$ ．因为 $f (x)$ 的定义域关于原点对称，且 $f (- x) = \frac{6 {cos}^{4} (- x) + 5 {sin}^{2} (- x) - 4}{cos - 2 x} = \frac{6 {cos}^{4} x + 5 {sin}^{2} x - 4}{cos 2 x} = f (x)$ . 所以 $f (x)$ 是偶函数．当 $x \neq \frac{k π}{2} + \frac{π}{4} ， k \in ℤ$ 时， $f (x) = \frac{6 {cos}^{4} x + 5 {sin}^{2} x - 4}{cos 2 x}$ = $\frac{6 {cos}^{4} x - 5 {cos}^{2} x + 1}{cos 2 x}$ = $\frac{(2 {cos}^{2} x - 1) (3 {cos}^{2} x - 1)}{cos 2 x}$ = $3 {cos}^{2} x - 1$ 所以 $f (x)$ 的值域为 ${y \| - 1 \leq y < \frac{1}{2} 或 \frac{1}{2} < y \leq 2}$ ．评注:(1)在判断三角函数的奇偶性时，一类错误是不先化简，直接利用定义，造成误判，本例可以化简也可以先不去化简；二类错误是不优先考虑定义域的对称性，造成误判． (2)函数 $y = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0)$ 的单调区间的确定，基本思想是把 $ω x + ϕ$ 看作一个整体．如由 $2 k π - \frac{π}{2} \leq ω x + ϕ \leq 2 k π + \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ 解出 $x$ 的范围，所得区间即为增区间；由 $2 k π + \frac{π}{2} \leq ω x + ϕ \leq 2 k π + \frac{3 π}{2} (k \in ℤ)$ 解出 $x$ 的范围，所得区间为减区间．若函数 $y = A sin (ω x + ϕ)$ 中， $A > 0 ， ω < 0$ ，可用诱导公式将函数变为 $y = - A sin (- ω x - ϕ)$ ，则 $y = sin (- ω x - ϕ)$ 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．

基础训练

1、要得到函数

y = cos (2 x - \frac{π}{3})

，

ξ n ℝ

的图象，只需将函数

y = sin 2 x

，

ξ n ℝ

的图象( )
A.向左平移

\frac{π}{6}

个单位长度 B.向右平移

\frac{π}{6}

个单位长度
C.向左平移

\frac{π}{12}

个单位长度 D.向右平移

\frac{π}{12}

个单位长度
2、已知函数

f (x) = 2 sin ω x () ω > 0

在区问

[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]

上的最小值是

- 2

，则

ω

的最小值等于( )
A.

\frac{2}{3}

\frac{3}{2}

2

3

3、将函数

y = sin x - \sqrt[]{3} cos x

的图象沿

x

轴向右平移

a

个单位

(a > O)

，所得图象关于

y

轴对称，则

a

的最小值为( )
A.

\frac{7 π}{6}

\frac{π}{2}

\frac{π}{6}

\frac{π}{3}

4、将函数

f (x) = sin (ω x + ϕ)

(ω > 0 ， - \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2})

，给出下列四个论断：
①它的周期为

π

；②它的图象关于直线

x = \frac{π}{12}

对称；③它的图象关于点

(\frac{π}{3} ， 0)

对称；④在区间

(- \frac{π}{6} ， 0)

上是增函数．
请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题：______(用序号表示)
5、

y = sin (2 x + \frac{π}{3})

的图象的对称轴方程是______
6、函数

y = 2 sin 3 x

(

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

)与函数

y = 2 (ξ n ℝ)

的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是______
7、要使函数

y = 5 cos (\frac{2 k + 1}{3} π x - \frac{π}{6}) ， k \in ℕ

，对于任意实数

a

，在区间

[a ， a + 3]

上的值为

\frac{5}{4}

的次数不少于4次且不多于8次，求

k

的值
8、已知角

α

的顶点在原点，始边与

x

轴的正半轴重合，终边为射线

4 x + 3 y = 0 (x > 0)

(1)求

sin α (sin α + cot α) + {cos}^{2} α

的值；
(2)求出所有与

α

角终边相同角的集合．

参考答案

1、要得到函数

y = cos (2 x - \frac{π}{3})

，

ξ n ℝ

的图象，只需将函数

y = sin 2 x

，

ξ n ℝ

的图象( C )
A.向左平移

\frac{π}{6}

个单位长度 B.向右平移

\frac{π}{6}

个单位长度
C.向左平移

\frac{π}{12}

个单位长度 D.向右平移

\frac{π}{12}

个单位长度
2、已知函数

f (x) = 2 sin ω x () ω > 0

在区问

[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]

上的最小值是

- 2

，则

ω

的最小值等于( B )
A.

\frac{2}{3}

\frac{3}{2}

2

3

3、将函数

y = sin x - \sqrt[]{3} cos x

的图象沿

x

轴向右平移

a

个单位

(a > O)

，所得图象关于

y

轴对称，则

a

的最小值为( C )
A.

\frac{7 π}{6}

\frac{π}{2}

\frac{π}{6}

\frac{π}{3}

4、将函数

f (x) = sin (ω x + ϕ)

(ω > 0 ， - \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2})

，给出下列四个论断：
①它的周期为

π

；②它的图象关于直线

x = \frac{π}{12}

对称；③它的图象关于点

(\frac{π}{3} ， 0)

对称；④在区间

(- \frac{π}{6} ， 0)

上是增函数．
请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题：______(用序号表示)
答案：

① ② \to ③ ④

或者

① ③ \to ② ④

5、

y = sin (2 x + \frac{π}{3})

的图象的对称轴方程是______
答案：

x = \frac{2 k π}{2} + \frac{π}{12} (k \in ℤ)

6、函数

y = 2 sin 3 x

(

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

)与函数

y = 2 (ξ n ℝ)

的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是______
答案：

\frac{4 π}{3}

7、要使函数

y = 5 cos (\frac{2 k + 1}{3} π x - \frac{π}{6}) ， k \in ℕ

，对于任意实数

a

，在区间

[a ， a + 3]

上的值为

\frac{5}{4}

的次数不少于4次且不多于8次，求

k

的值
答案：

2

或

3

8、已知角

α

的顶点在原点，始边与

x

轴的正半轴重合，终边为射线

4 x + 3 y = 0 (x > 0)

(1)求

sin α (sin α + cot α) + {cos}^{2} α

的值；
(2)求出所有与

α

角终边相同角的集合．
答案：(1)

\frac{8}{5}

(2)

{θ | θ = 2 k π - a r c tan (\frac{4}{3}) ， k \in ℤ}

提高训练

1、设点

P

是函数

f (x) = sin ω x

的图象

C

的一个对称中心，若点

P

到图象

C

的对称轴上的距离的最小值

\frac{π}{4}

，则

f (x)

的最小正周期是( )
A.

2 π

π

\frac{π}{2}

\frac{π}{4}

2、如果直线

y = a

与函数

y = sin x (ξ n [0 ， 27])

的图象只有一个交点，则

a

=______；有且只有两个交点，则

a

的取值范围是______．
3、已知函数

f (x) = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， ξ n R)

在一个周期内的图象，求直线

y = \sqrt[]{3}

与函数

f (x)

图象的所有交点的坐标．

    4、设 $f (x) = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | \leq π)$ 的最高点 $O$ 的坐标为 $(2 ， \sqrt[]{2})$ ，由最高点运动到相邻的最低点 $F$ 时，曲线与 $x$ 轴的交点为 $E (6 ， 0)$ ．
    (1)求 $A$ 、 $ω$ 、 $ϕ$ 值；
    (2)确定 $g (x)$ 表达式，使其图象与 $f (x)$ 的图象关于 $x = 8$ 对称．

参考答案

1、设点

P

是函数

f (x) = sin ω x

的图象

C

的一个对称中心，若点

P

到图象

C

的对称轴上的距离的最小值

\frac{π}{4}

，则

f (x)

的最小正周期是( B )
A.

2 π

π

\frac{π}{2}

\frac{π}{4}

2、如果直线

y = a

与函数

y = sin x (ξ n [0 ， 27])

的图象只有一个交点，则

a

=______；有且只有两个交点，则

a

的取值范围是______
答案：

\pm 1

；

(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)

3、已知函数

f (x) = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， ξ n R)

在一个周期内的图象，求直线

y = \sqrt[]{3}

与函数

f (x)

图象的所有交点的坐标．

    答案： $(4 k π + \frac{π}{6} ， \sqrt{3})$ 或 $(4 k π + \frac{5 π}{6} ， \sqrt{3}) (k \in ℤ)$
    4、设 $f (x) = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | \leq π)$ 的最高点 $O$ 的坐标为 $(2 ， \sqrt[]{2})$ ，由最高点运动到相邻的最低点 $F$ 时，曲线与 $x$ 轴的交点为 $E (6 ， 0)$ ．
    (1)求 $A$ 、 $ω$ 、 $ϕ$ 值；
    (2)确定 $g (x)$ 表达式，使其图象与 $f (x)$ 的图象关于 $x = 8$ 对称．
   答案：(1) $A = \sqrt{2}$ $ω = \frac{π}{8}$ $ϕ = \frac{π}{4}$

学习感悟
1、对于三角函数的变换问题，要注意 $y = sin x$ $\Rightarrow$ $y = sin (ω x + ϕ)$ 与 $y = sin ω x$ $\Rightarrow$ $y = sin (ω x + ϕ)$ 的区别，不同名的要先化成同名函数．
2、由图象求解析式 $y = A sin (ω x + ϕ) + B$ 时，一般先确定平衡位置，再确定 $A 、 ω$ 的大小．确定 $ϕ$ 时要选一个点代入(最好是选图中较靠前的最高点)．
3、判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性．注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇，一偶则偶”．
4、三角函数单调区间的确定，一般先将函数或化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解．对复合函数的单调区间的确定，应明确对复合过程中的每一个函数而言，“奇数个减则减，偶数个减则增”．

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