一、复习目标
    掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
    能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

    二、重点难点
    重点:二倍角的正弦、余弦、正切公式及应用.

    难点:正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

    三、特别提示
  1、公式的正用、逆用、变形用，是公式的三种主要使用方法，特别对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用${\displaystyle {cos}^2\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2}}$，${\displaystyle {sin}^2\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}}$称为降幂公式，而把${\displaystyle 1-cos2\alpha =2{sin}^2\alpha }$，${\displaystyle 1+cos2\alpha }$${\displaystyle =}$${\displaystyle 2{cos}^2\alpha }$称为升幂公式．
    2、当${\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})}$时，${\displaystyle tan\alpha }$的值不存在，但${\displaystyle tan2\alpha }$的值是存在的，这时${\displaystyle tan2\alpha }$=${\displaystyle tan2(\frac{\pi }{2}+k\pi )}$=${\displaystyle tan(\pi +2k\pi )}$=${\displaystyle tan\pi }$=0.
  3、要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如：${\displaystyle 2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )}$，${\displaystyle \alpha =(\alpha +\beta )-\beta =(\alpha -\beta )+\beta }$，${\displaystyle \frac{\alpha }{3}}$是${\displaystyle \frac{2\alpha }{3}}$的半角，${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$是${\displaystyle \frac{2\alpha }{4}}$的倍角等．

    应用举例
    一、应用特点
    1、运用二倍角公式求值
    2、运用二倍角公式化简
    3、运用二倍角公式证明三角恒等式

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、已知${\displaystyle \alpha \in (\frac{\pi }{2}，\pi )}$，且${\displaystyle sin\alpha =\frac{3}{5}}$.
    (1)求${\displaystyle cos(\alpha -\frac{\pi }{4})}$的值；
    (2)求${\displaystyle {sin}^2\frac{\alpha }{2}+\frac{sin4\alpha cos2\alpha }{1+cos4\alpha }}$的值.

提示	示范
(提示内容)
解:(1)因为${\displaystyle \alpha }$∈${\displaystyle (\frac{\pi }{2}，\pi )}$，${\displaystyle sin\alpha =\frac{3}{5}}$，     所以${\displaystyle cos\alpha =\frac{4}{5}}$     所以，${\displaystyle cos(\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt[]{2}}{2}(sin\alpha +cos\alpha )=-\frac{\sqrt[]{2}}{10}}$     (2)${\displaystyle {sin}^2\frac{\alpha }{2}+\frac{sin4\alpha cos2\alpha }{1+cos4\alpha }}$     = ${\displaystyle \frac{1-cos\alpha }{2}+\frac{2sin2\alpha {cos}^2\left(2\alpha \right)}{2{cos}^2\left(2\alpha \right)}}$     = ${\displaystyle \frac{1-cos\alpha }{2}+2sin\alpha cos\alpha }$     = ${\displaystyle -\frac{3}{50}}$     评注:根据题目特点，从不同角度入手，灵活运用化同名、化同角、化同次等方法求解．

提示	示范
本题所含的角较多，结构复杂，函数名称也不一致．如果仔细观察，不难发现${\displaystyle (\frac{\pi }{4}-\alpha )+(\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{\pi }{2}}$，${\displaystyle (\frac{\pi }{4}-\alpha )}$${\displaystyle -(\frac{\pi }{4}+\alpha )=2\alpha }$，所以可以从变角入手，从而打开缺口．
解:原式=${\displaystyle \frac{sin(2\alpha +\frac{\pi }{2})}{2cot(\frac{\pi }{4}+\alpha )c{sin}^2(\frac{\pi }{4}+\alpha )}}$     = ${\displaystyle \frac{2sin(\frac{\pi }{4}+\alpha )cos(\frac{\pi }{4}+\alpha )}{2cos(\frac{\pi }{4}+\alpha )sin(\frac{\pi }{4}+\alpha )}}$     =${\displaystyle 1}$     评注:本例的突破口在于角的变化，而角的变化又取决于相关角的内在联系，${\displaystyle \frac{\pi }{4}+\alpha }$与${\displaystyle \frac{\pi }{4}-\alpha }$两角互余，便于用诱导公式“切割化弦”，最终实现了角的统一和函数的统一．此题若从和、差、倍角公式入手，则会误入歧途而半诊而废．

提示	示范
欲证${\displaystyle \alpha +2\beta =\frac{\pi }{2}}$，只需证明${\displaystyle sin(\alpha +2\beta )=1}$或${\displaystyle cos(\alpha +2\beta )=0}$，然后根据角的范围得出结论．
解:由${\displaystyle 3{sin}^2\alpha +2{sin}^2\beta =1}$，得${\displaystyle 3{sin}^2\alpha =1-2{sin}^2\beta }$，即${\displaystyle 3{sin}^2\alpha =cos2\beta }$  ①     由${\displaystyle 3sin2\alpha -2sin2\beta =0}$，得${\displaystyle 3sin\alpha cos\alpha =sin2\beta }$  ②     ${\displaystyle {①}^2+{②}^2}$，得${\displaystyle 9{sin}^4\alpha +9{sin}^2\alpha {cos}^2\alpha =1}$     ∴${\displaystyle 9{sin}^2\alpha \cdot ({sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1)}$     即${\displaystyle 9{sin}^2\alpha =1}$     ∴${\displaystyle {sin}^2\alpha =\frac{1}{9}}$     又${\displaystyle \alpha \in (0，\frac{\pi }{2})}$     ∴${\displaystyle sin\alpha =\frac{1}{3}}$     ∴${\displaystyle sin(\alpha +2\beta )}$     =${\displaystyle sin\alpha cos2\beta +cos\alpha sin2\beta }$     =${\displaystyle sin\alpha \cdot 3{sin}^2\alpha +cos\alpha \cdot 3sin\alpha cos\alpha }$     =${\displaystyle 3sin\alpha ({sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha )}$     =${\displaystyle 3sin\alpha }$     =${\displaystyle 1}$     又∵${\displaystyle \alpha 、\beta \in (0，\frac{\pi }{2})}$     ∴${\displaystyle \alpha +2\beta \in (0，\frac{3\pi }{2})}$     ∴${\displaystyle \alpha +2\beta =\frac{\pi }{2}}$     评注:(内容)

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、${\displaystyle △ABC}$中${\displaystyle cos(\frac{\pi }{4}+A)=\frac{5}{13}}$，求${\displaystyle cos2A}$的值

提示	示范
(提示内容)
解:∵${\displaystyle \angle A}$是${\displaystyle △ABC}$的内角     又${\displaystyle cos(\frac{\pi }{4}+A)=\frac{5}{13}>0}$     ∴${\displaystyle sin(\frac{\pi }{4}+A)=\sqrt[]{1-{cos}^2(\frac{\pi }{4}+A)}=\frac{12}{13}}$     ∴${\displaystyle cos2A=sin(\frac{\pi }{2}+2A)=sin2(\frac{\pi }{4}+A)}$     =${\displaystyle 2sin(\frac{\pi }{2}+2)cos(\frac{\pi }{2}+A)}$     =${\displaystyle 2\times \frac{12}{13}\times \frac{5}{13}}$     =${\displaystyle \frac{120}{169}}$     评注:(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：${\displaystyle 8\alpha }$是${\displaystyle 4\alpha }$的二倍角；${\displaystyle 6\alpha }$是${\displaystyle 3\alpha }$的二倍角；${\displaystyle 4\alpha }$是${\displaystyle 2\alpha }$的二倍角；${\displaystyle 3\alpha }$是${\displaystyle \frac{3}{2}\alpha }$的 二倍角；${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$是${\displaystyle \frac{\alpha }{4}}$的二倍角；${\displaystyle \frac{\alpha }{3}}$是${\displaystyle \frac{\alpha }{6}}$的二倍角等     ……     又如${\displaystyle \alpha =2·\frac{\alpha }{2}}$，${\displaystyle \frac{\alpha }{2}=2·\frac{\alpha }{4}}$，…，${\displaystyle \frac{\alpha }{2^n}=2·\frac{\alpha }{2^{n+1}}}$     ${\displaystyle \therefore sin\left(\frac{\alpha }{2^n}\right)=2sin\left(\frac{\alpha }{2^{n+1}}\right)cos\left(\frac{\alpha }{2^{n+1}}\right)(n\in {\mathbb{N}}^{\cdot })}$     ${\displaystyle cos\left(\frac{\alpha }{2^n}\right)={cos}^2\left(\frac{\alpha }{2^{n+1}}\right)-{sin}^2\left(\frac{\alpha }{2^{n+1}}\right)(n\in {\mathbb{N}}^{\cdot })}$     ${\displaystyle tan\left(\frac{\alpha }{2^n}\right)=\frac{2{tan}^2\left(\frac{\alpha }{2^{n+1}}\right)}{1-{tan}^2\left(\frac{\alpha }{2^{n+1}}\right)}(n\in {\mathbb{N}}^{\cdot })}$   (2)当${\displaystyle \alpha =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in z)}$时，${\displaystyle tan\alpha }$的值不存在，这时求${\displaystyle tan2\alpha }$的值可利用诱导公式，即${\displaystyle tan2\alpha }$${\displaystyle =}$${\displaystyle tan2(k\pi +\frac{\pi }{2})}$${\displaystyle =}$${\displaystyle tan(\pi +2k\pi )}$${\displaystyle =}$${\displaystyle tan\pi }$${\displaystyle =0}$．

    2、已知，求${\displaystyle \frac{sin2x+2{sin}^{2}x}{1-tanx}}$的值.

提示	示范
(提示内容)
解:∵     ∴     又∵${\displaystyle cos(\frac{\pi }{4}+x)=\frac{3}{5}>0}$     ∴     ∴${\displaystyle sin(\frac{\pi }{4}+x)=-\sqrt[]{1-{cos}^2(\frac{\pi }{4}+x)}=-\sqrt[]{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=-\frac{4}{5}}$       ${\displaystyle tan(\frac{\pi }{4}+x)=\frac{sin(\frac{\pi }{4}+x)}{cos(\frac{\pi }{4}+x)}=\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}}$     ∵${\displaystyle sin2x=-cos2(\frac{\pi }{4}+x)=1-2{cos}^2(\frac{\pi }{4}+x)=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}}$     ∴原式=${\displaystyle \frac{sin2x+2{sin}^{2}x}{cosx-sinx}}$     =${\displaystyle \frac{sinx\cdot cosx+2{sin}^{2}x\cdot cosx}{cosx-sinx}}$     =${\displaystyle \frac{sin2x(cosx+sinx)}{cosx-sinx}=sin2x\cdot \frac{1+tanx}{1-tanx}}$     =${\displaystyle sin2x\cdot tan(\frac{\pi }{4}+x)}$     =${\displaystyle \frac{7}{25}\times (-\frac{4}{3})}$     =${\displaystyle -\frac{28}{75}}$   评注:本解所用技巧最明显之处有三：一是正切和角公式的逆用[即${\displaystyle \frac{1+tanx}{1-tanx}=tan(\frac{\pi }{4}+x)}$]；二是用推广了的诱导公式[即${\displaystyle sin2x=-cos(\frac{\pi }{2}+2x)}$]，可证明如下：${\displaystyle sin2x=cos(\frac{\pi }{2}-2x)=-cos[\pi -(\frac{\pi }{2}-2x)]=-cos(\frac{\pi }{2}+2x)}$；三是巧用余弦的二倍角公式求值．

    学习感悟
    1、公式的熟练与准确应用，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆．
    2、要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率．
    3、角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一．