一、复习目标
    掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
    能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

    二、重点难点
    重点:二倍角的正弦、余弦、正切公式及应用.

    难点:正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

    三、特别提示
  1、公式的正用、逆用、变形用，是公式的三种主要使用方法，特别对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用`cos^2alpha=(1+cos2alpha)/2`，`sin^2alpha=(1-cos2alpha)/2`称为降幂公式，而把`1-cos2alpha=2sin^2alpha`，`1+cos2alpha``=``2cos^2alpha`称为升幂公式．
    2、当`alpha=pi/2+kpi(k∈ZZ)`时，`tanalpha`的值不存在，但`tan2alpha`的值是存在的，这时`tan2alpha`=`tan2(pi/2+kpi)`=`tan(pi+2kpi)`=`tanpi`=0.
  3、要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如：`2alpha=(alpha+beta)+(alpha-beta)`，`alpha=(alpha+beta)-beta=(alpha-beta)+beta`，`alpha/3`是`(2alpha)/3`的半角，`alpha/2`是`(2alpha)/4`的倍角等．

    应用举例
    一、应用特点
    1、运用二倍角公式求值
    2、运用二倍角公式化简
    3、运用二倍角公式证明三角恒等式

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、已知`alphain(pi/2，pi)`，且`sinalpha=3/5`.
    (1)求`cos(alpha-pi/4)`的值；
    (2)求`sin^2alpha/2+(sin4alphacos2alpha)/(1+cos4alpha)`的值.

提示	示范
(提示内容)
解:(1)因为`alpha`∈`(pi/2，pi)`，`sinalpha=3/5`，     所以`cosalpha=4/5`     所以，`cos(alpha-pi/4)=root()(2)/2(sinalpha+cosalpha)=-root()(2)/10`     (2)`sin^2alpha/2+(sin4alphacos2alpha)/(1+cos4alpha)`     = `(1-cosalpha)/2+(2sin2alphacos^2(2alpha))/(2cos^2(2alpha))`     = `(1-cosalpha)/2+2sinalphacosalpha`     = `-3/50`     评注:根据题目特点，从不同角度入手，灵活运用化同名、化同角、化同次等方法求解．

提示	示范
本题所含的角较多，结构复杂，函数名称也不一致．如果仔细观察，不难发现`(pi/4-alpha)+(pi/4+alpha)=pi/2`，`(pi/4-alpha)``-(pi/4+alpha)=2alpha`，所以可以从变角入手，从而打开缺口．
解:原式=`sin(2alpha+pi/2)/(2cot(pi/4+alpha)csin^2(pi/4+alpha))`     = `(2sin(pi/4+alpha)cos(pi/4+alpha))/(2cos(pi/4+alpha)sin(pi/4+alpha))`     =`1`     评注:本例的突破口在于角的变化，而角的变化又取决于相关角的内在联系，`pi/4+alpha`与`pi/4-alpha`两角互余，便于用诱导公式“切割化弦”，最终实现了角的统一和函数的统一．此题若从和、差、倍角公式入手，则会误入歧途而半诊而废．

提示	示范
欲证`alpha+2beta=pi/2`，只需证明`sin(alpha+2beta)=1`或`cos(alpha+2beta)=0`，然后根据角的范围得出结论．
解:由`3sin^2alpha+2sin^2beta=1`，得`3sin^2alpha=1-2sin^2beta`，即`3sin^2alpha=cos2beta`  ①     由`3sin2alpha-2sin2beta=0`，得`3sinalphacosalpha=sin2beta`  ②     `①^2+②^2`，得`9sin^4alpha+9sin^2alphacos^2alpha=1`     ∴`9sin^2alpha*(sin^2alpha+cos^2alpha=1)`     即`9sin^2alpha=1`     ∴`sin^2alpha=1/9`     又`alpha∈(0，pi/2)`     ∴`sinalpha=1/3`     ∴`sin(alpha+2beta)`     =`sinalphacos2beta+cosalphasin2beta`     =`sinalpha*3sin^2alpha+cosalpha*3sinalphacosalpha`     =`3sinalpha(sin^2alpha+cos^2alpha)`     =`3sinalpha`     =`1`     又∵`alpha、beta∈(0，pi/2)`     ∴`alpha+2beta∈(0，(3pi)/2)`     ∴`alpha+2beta=pi/2`     评注:(内容)

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、`△ABC`中`cos(pi/4+A)=5/13`，求`cos2A`的值

提示	示范
(提示内容)
解:∵`∠A`是`△ABC`的内角     又`cos(pi/4+A)=5/13>0`     ∴`sin(pi/4+A)=root()(1-cos^2(pi/4+A))=12/13`     ∴`cos2A=sin(pi/2+2A)=sin2(pi/4+A)`     =`2sin(pi/2+2)cos(pi/2+A)`     =`2xx12/13xx5/13`     =`120/169`     评注:(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：`8alpha`是`4alpha`的二倍角；`6alpha`是`3alpha`的二倍角；`4alpha`是`2alpha`的二倍角；`3alpha`是`3/2alpha`的 二倍角；`alpha/2`是`alpha/4`的二倍角；`alpha/3`是`alpha/6`的二倍角等     ……     又如`alpha=2·alpha/2`，`alpha/2=2·alpha/4`，…，`alpha/2^n=2·alpha/2^(n+1)`     `:.sin(alpha/2^n)=2sin(alpha/2^(n+1))cos(alpha/2^(n+1))(ninNN^*)`     `cos(alpha/2^n)=cos^2(alpha/2^(n+1))-sin^2(alpha/2^(n+1))(ninNN^*)`     `tan(alpha/2^n)=(2tan^2(alpha/2^(n+1)))/(1-tan^2(alpha/2^(n+1)))(ninNN^*)`   (2)当`alpha=kpi+pi/2(k∈z)`时，`tanalpha`的值不存在，这时求`tan2alpha`的值可利用诱导公式，即`tan2alpha``=``tan2(kpi+pi/2)``=``tan(pi+2kpi)``=``tanpi``=0`．

    2、已知`cos(pi/4+x)=3/5，(7pi)/12<x<(7pi)/4`，求`(sin2x+2sin^2x)/(1-tanx)`的值.

提示	示范
(提示内容)
解:∵`(7pi)/12<x<(7pi)/4`     ∴`(5pi)/6<pi/4+x<2pi`     又∵`cos(pi/4+x)=3/5>0`     ∴`(3pi)/2<pi/4+x<2pi`     ∴`sin(pi/4+x)=-root()(1-cos^2(pi/4+x))=-root()(1-(3/5)^2)=-4/5`       `tan(pi/4+x)=sin(pi/4+x)/cos(pi/4+x)=(-4/5)/(3/5)=-4/3`     ∵`sin2x=-cos2(pi/4+x)=1-2cos^2(pi/4+x)=1-18/25=7/25`     ∴原式=`(sin2x+2sin^2x)/(cosx-sinx)`     =`(sinx*cosx+2sin^2x*cosx)/(cosx-sinx)`     =`(sin2x(cosx+sinx))/(cosx-sinx)=sin2x*(1+tanx)/(1-tanx)`     =`sin2x*tan(pi/4+x)`     =`7/25xx(-4/3)`     =`-28/75`   评注:本解所用技巧最明显之处有三：一是正切和角公式的逆用[即`(1+tanx)/(1-tanx)=tan(pi/4+x)`]；二是用推广了的诱导公式[即`sin2x=-cos(pi/2+2x)`]，可证明如下：`sin2x=cos(pi/2-2x)=-cos[pi-(pi/2-2x)]=-cos(pi/2+2x)`；三是巧用余弦的二倍角公式求值．

    学习感悟
    1、公式的熟练与准确应用，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆．
    2、要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率．
    3、角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一．