二、重点难点
    重点:任意角的概念, 弧度与角度的换算, 任意角的正弦、余弦、正切的定义及应用.

    难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义及应用.

    三、特别提示
    1、角的集合的表示形式不是唯一的，如，终边在${\displaystyle y}$轴的负半轴上的角的集合可用如下两种形式来表示：${\displaystyle \{x|x=2k\pi -\frac{\pi }{2}，k\in \mathbb{Z}\}}$，${\displaystyle \{x|x=2k\pi +\frac{3\pi }{2}，k\in \mathbb{Z})}$，但应注意角度制与弧度制不能混用，
    如：${\displaystyle \{x|x=2k\pi +270°，k\in \mathbb{Z}\}}$是错误形式；
    角的概念推广及弧度制的建立，使角的集合与实数集${\displaystyle ℝ}$之间建立了一个一一对应关系，使运算更为方便．
  2、三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．
  3、利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在的象限．当终边所在的象限不定时，要注意分情况讨论，分类讨论的思想是解决这类题的重要思想方法．
    4、注意第一象限角、锐角、小于90°的角的区别与联系．
  第一象限的角可以表示成，它包含锐角．锐角可以写成，它是第一象限的角．小于${\displaystyle 90°}$的角可以表示成，它包含锐角、零角及负角．
  5、单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数性质．三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，当角${\displaystyle \alpha }$的终边与${\displaystyle x}$轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角a的正弦值和正切值都为0；当角${\displaystyle \alpha }$的终边与${\displaystyle y}$轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在．

  1、任意角的概念：角可以看成是一条射线，绕着端点旋转而成的图形．开始位置的射线叫始边，终止位置的射线叫终边．规定按逆时针方向旋转所成的角为 正角，按顺时针方向旋转所成的角为负角，没有旋转的角为零角．

  2、象限角与轴上角：角的顶点与原点重合，角的始边与${\displaystyle x}$轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，这样的角叫轴上角，不属于任何象限．

    3、终边相同的角：若${\displaystyle \alpha }$为任意角，则与${\displaystyle \alpha }$终边相同的角，连同${\displaystyle \alpha }$在内，可以表示成${\displaystyle S=\{\beta |\beta =\alpha +k·360°\}}$，${\displaystyle (k\in \mathbb{Z})}$
    二、弧度制
    1、概念：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫弧度制，它的单位符号是${\displaystyle rad}$，读作弧度．

    2、弧长公式与扇形面积公式：在弧度制下，弧长${\displaystyle l=\left|\alpha \right|·r}$(${\displaystyle r}$为半径)，扇形面积${\displaystyle S_{扇形}}$=${\displaystyle \frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}{R}^2\left|\alpha \right|}$．
    3、弧度与角度的换算公式：180°=${\displaystyle \pi rad}$，${\displaystyle 1°=\frac{\pi }{180}rad}$，${\displaystyle 1rad=\left(\frac{180}{\pi }\right)°\approx 57.30°}$
    4、特殊角的角度数与弧度数的换算表：

    三、任意角的三角函数
    1、定义：在角${\displaystyle \alpha }$的终边上任取一点${\displaystyle P(x，y)}$，设${\displaystyle \left|OP\right|=r(r>0)}$，
   
    则${\displaystyle sin\alpha =\frac{y}{r}}$；${\displaystyle cos\alpha =\frac{x}{r}}$；${\displaystyle tan\alpha =\frac{y}{x}}$；${\displaystyle cot\alpha =\frac{x}{y}}$；${\displaystyle sec\alpha =\frac{r}{x}}$；${\displaystyle csc\alpha =\frac{r}{y}}$

    2、三角函数线：如图，单位圆中的有向线段：${\displaystyle MP}$、${\displaystyle OM}$、${\displaystyle AT}$分别叫做${\displaystyle \alpha }$的正弦线、余弦线、正切线．
    3、三角函数的定义域：${\displaystyle y=sin\alpha }$，${\displaystyle y=cos\alpha }$的定义域是${\displaystyle (-\infty ，+\infty )}$；
    ${\displaystyle y=tan\alpha }$，${\displaystyle y=sec\alpha }$的定义域是${\displaystyle \{\alpha |\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ，k\in Z\}}$；
    ${\displaystyle y=cot\alpha }$，${\displaystyle y=csc\alpha }$的定义域是${\displaystyle \{\alpha |\alpha \ne k\pi ，k\in Z\}}$
    4、三角函数值在各象限中的符号  

    应用举例
    一、应用特点
    1、三角函数的概念的应用
    2、三角函数的符号判断
    3、弧长公式、扇形面积公式的应用

    1、${\displaystyle C}$是曲线上一点，${\displaystyle CD\perp y}$轴，${\displaystyle D}$是垂足，${\displaystyle A}$点坐标是${\displaystyle (-1，0)}$，${\displaystyle \angle CAO=\theta }$(其中${\displaystyle O}$为原点)，将${\displaystyle AC+CD}$表示成关于${\displaystyle \theta }$的函数${\displaystyle f\left(\theta \right)}$，则${\displaystyle f\left(\theta \right)}$等于(   )
    A.${\displaystyle 2cos\theta -cos2\theta }$      B.${\displaystyle cos\theta +sin\theta }$   

    C.${\displaystyle 2cos\theta (1+cos\theta )}$    D.${\displaystyle 2sin\theta +cos\theta -\sqrt[]{2}}$

提示	示范
运用三角函数的定义，明确是${\displaystyle \frac{1}{4}}$个半圆．
解:如下图${\displaystyle y=\sqrt[]{1-x^2}}$．     表示${\displaystyle \frac{1}{4}}$个圆，连结${\displaystyle OC}$．过${\displaystyle O}$作${\displaystyle OM\perp AC}$于${\displaystyle M}$，由${\displaystyle OA=OC=1}$，得${\displaystyle \angle COA=\pi -2\theta }$．     ∴${\displaystyle AC=2AM=2cos\theta }$．又${\displaystyle \angle COD=\frac{\pi }{2}-\angle COA=2\theta -\frac{\pi }{2}}$．     ∴${\displaystyle CD=OCsin(2\theta -\frac{\pi }{2})=-cos2\theta }$．     ∴${\displaystyle AC+CD=2cos\theta -cos2\theta }$．     答案：A     评注:(内容)

提示	示范
利用正、余弦，正、余切函数在各象限的符号．
解:(1)∵${\displaystyle sin\theta \in [-1，1]}$、${\displaystyle cos\theta \in [-1，1]}$且${\displaystyle tan\theta 、cot\theta }$在同一象限内同号，故${\displaystyle \theta }$在第一或第三象限．     (2)${\displaystyle \alpha }$分四个象限讨论：     当${\displaystyle \alpha }$是一象限角时，${\displaystyle y=4}$；当${\displaystyle \alpha }$是二象限角时，${\displaystyle y=-2}$；     当${\displaystyle \alpha }$是三象限角时，${\displaystyle y=0}$；当${\displaystyle \alpha }$是四象限角时，${\displaystyle y=-2}$．     因此${\displaystyle y\in \{-2，0，4\}}$．     评注:三角函数的自变量可以是角度制和弧度制，而弧度制可视为实数 ，因此要注意变量的双重性．

提示	示范
利用扇形的弧长公式和面积公式计算．
解:设扇形的圆心角是${\displaystyle \theta rad}$，因为扇形的弧长是${\displaystyle r\theta }$，所以扇形的周长是${\displaystyle 2r+r\theta }$     依题意，得${\displaystyle 2r+r\theta =\pi r}$     ∵${\displaystyle \theta =\pi -2=(\pi -2)\times \left(\frac{180}{\pi }\right)°\approx 1.141\times 57.30°\approx 65.32°\approx 65°19\text{'}}$     ∴扇形的面积为${\displaystyle S=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}(\pi -2)r^2}$.     评注:在弧长公式${\displaystyle l=R\left|\alpha \right|}$，扇形面积公式${\displaystyle S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}{R}^2\left|\alpha \right|}$中，${\displaystyle \alpha }$是弧度．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、(1)写出终边在${\displaystyle y}$轴上的角的集合；
    (2)若角${\displaystyle \alpha }$的终边和函数${\displaystyle y=-\left|x\right|}$的图象重合，试写出角${\displaystyle \alpha }$的集合；
    (3)已知角${\displaystyle \alpha }$是第二象限角，试确定${\displaystyle 2\alpha }$、${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$所在的象限；
    (4)若${\displaystyle \theta }$角的终边与${\displaystyle 168°}$角的终边相同，求在${\displaystyle [0°，360°)}$内终边与${\displaystyle \frac{\theta }{3}}$角的终边相同的角．

提示	示范
(提示内容)
解:(1)集合为${\displaystyle \{\alpha |\alpha =2k\pi +\frac{\pi }{2}，k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\alpha |\alpha =2k\pi +\frac{3\pi }{2}，k\in \mathbb{Z}\}=\{\alpha |\alpha =k\pi +\frac{\pi }{2}，k\in \mathbb{Z}\}}$   (2)由于${\displaystyle y=-\left|x\right|}$的图象是三、四象限的平分线，故在${\displaystyle 0°～360°}$问所对应的两个角分别为225°及315°，从而角${\displaystyle \alpha }$的集合为${\displaystyle S=\{\alpha l\alpha =k•360°+225°或\alpha =k•360°+315°，k\in \mathbb{Z}\}}$     (3)∵${\displaystyle \alpha }$是第二象限角，     ∴     ∴     ∴${\displaystyle 2\alpha }$是第三、四象限角或角的终边在${\displaystyle y}$轴负半轴上     ∵，     当${\displaystyle k=2m(m\in \mathbb{Z})}$时，     当${\displaystyle k=2m+1(m\in \mathbb{Z})}$时，     ∴${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$为第一或第三象限角     (4)${\displaystyle \theta =k•360°+168°，k\in \mathbb{Z}，\frac{\theta }{3}=k•120°+56°，k\in \mathbb{Z}}$     依题意得，当${\displaystyle k=0，1，2}$时，${\displaystyle k•120°+56°在[0°，360°)}$内，     ∴${\displaystyle \frac{\theta }{3}=56°，176°，296°}$．     评注:(1)求终边相同的角的集合，方法是先求出${\displaystyle [0，2\pi )}$之间符合条件的角，再根据周期性写出符合条件的角的集合；(2)在解题过程中注重利用图形增强直观性．

    2、已知角${\displaystyle \alpha }$的终边在直线${\displaystyle y=-3x}$上，求${\displaystyle 10sin\alpha +3sec\alpha }$的值.

提示	示范
(提示内容)
解:设${\displaystyle \alpha }$终边上任一点为${\displaystyle P(k，-3k)}$，则${\displaystyle r=\sqrt[]{x^2+y^2}=\sqrt[]{k^2+{(-3k)}^2}=\sqrt[]{10}\left|k\right|}$．     当${\displaystyle k>0}$时,${\displaystyle r=\sqrt[]{10}\left|k\right|}$,     ∴${\displaystyle sin\alpha =\frac{-3k}{\sqrt[]{10}\left|k\right|}=-\frac{3}{\sqrt[]{10}}，sec\alpha =\frac{\sqrt[]{10}k}{k}=\sqrt[]{10}}$     ∴${\displaystyle 10sin\alpha +3sec\alpha =-3\sqrt[]{10}+3\sqrt[]{10}=10}$.     当时,${\displaystyle r=-\sqrt[]{10}\left|k\right|}$,     ∴${\displaystyle sin\alpha =\frac{-3k}{-\sqrt[]{10}\left|k\right|}=\frac{3}{\sqrt[]{10}},sec\alpha =\frac{-\sqrt[]{10}k}{k}=-\sqrt[]{10}}$     ∴${\displaystyle 10sin\alpha +3sec\alpha =3\sqrt[]{10}-3\sqrt[]{10}=10}$.   评注:(1)角的终边在直线${\displaystyle y=-3x}$上，在直线上任取一点${\displaystyle P(k，-3k)}$，要清楚当${\displaystyle k>0}$时，${\displaystyle P(k，-3k)}$是第四象限的点，角${\displaystyle \alpha }$的终边在第四象限；当时，${\displaystyle P(k，-3k)}$是第二象限的点，角${\displaystyle \alpha }$的终边在第二象限．这与角${\displaystyle \alpha }$的终边在${\displaystyle y=-3x}$上是一致的．做此类问题时一定注意分类讨论．   (2)熟记几组常用的勾股数组，如${\displaystyle (3，4，5)}$，${\displaystyle (5，12，13)}$，${\displaystyle (7，24，25)}$，${\displaystyle (8，15，17)}$，${\displaystyle (9，40，41)}$等会给我们的解题带来很多方便．   (3)若角${\displaystyle \alpha }$已经给定，不论点${\displaystyle P}$选择在${\displaystyle \alpha }$的终边上的什么位置，角${\displaystyle \alpha }$的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角${\displaystyle \alpha }$终边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角${\displaystyle \alpha }$的三角函数值也都是确定的．