解:方法一:原不等式等价于不等式组
    ${\displaystyle \{\begin{array}{l}|2x-3|＞3 ①\\ |2x-3|＜5 ②\end{array}}$
    由①得${\displaystyle 2x-3＞3}$或${\displaystyle 2x-3＜-3}$
    解得${\displaystyle x＞3}$或${\displaystyle x＜0}$
    由②得${\displaystyle -5＜2x-3＜5}$
    解得${\displaystyle -1＜x＜4}$
    所以原不等式的解集为${\displaystyle \{x|-1＜x＜0或3＜x＜4\}}$
    方法二:因为易求得不等式${\displaystyle 3＜\left|y\right|＜5}$的解是
    ${\displaystyle -5＜y＜-3}$或${\displaystyle 3＜y＜5}$
    用${\displaystyle 2x-3}$替换${\displaystyle y}$,所以原不等式可化为
    -${\displaystyle 5＜2x-3＜-3}$或${\displaystyle 3＜2x-3＜5}$
    分别解之，得${\displaystyle -1＜x＜0}$或${\displaystyle 3＜x＜4}$
    所以原不等式的解集为${\displaystyle \{x|-1＜x＜0或3＜x＜4\}}$
    方法三:原不等式可化为不等式组
    ${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x-3\ge 0\\ 3＜2x-3＜5\end{array}}$  ①    或${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x-3＜0\\ 3＜-(2x-3)＜5\end{array}}$   ②
    由①得${\displaystyle \{(x\ge \frac{3}{2})，(3＜x＜4)}$，解得${\displaystyle 3＜x＜4}$
    由②得${\displaystyle \{(x＜\frac{3}{2})，(-1＜x＜0)}$，解得${\displaystyle -1＜x＜0}$
    所以原不等式的解集为${\displaystyle \{x|-1＜x＜0}$或${\displaystyle 3＜x＜4\}}$
    方法四:${\displaystyle 3＜|2x-3|＜5\iff \frac{3}{2}＜|x-\frac{3}{2}|＜\frac{5}{2}}$
    ${\displaystyle \frac{3}{2}＜|x-\frac{3}{2}|＜\frac{5}{2}}$的几何意义为数轴上点x到点${\displaystyle \frac{3}{2}}$的距离大于${\displaystyle \frac{3}{2}}$且小于${\displaystyle \frac{5}{2}}$.
    则以点${\displaystyle \frac{3}{2}}$为圆心，以${\displaystyle \frac{3}{2}}$为半径画弧得端点${\displaystyle 0}$，${\displaystyle 3}$以外
    再以${\displaystyle \frac{3}{2}}$为圆心，以${\displaystyle \frac{5}{2}}$为半径画弧得端点${\displaystyle -1}$，${\displaystyle 4}$以内
    则交集为${\displaystyle (-1,0)\cup (3,4)}$

    评注:掌握绝对值的定义:${\displaystyle \left|a\right|=\{\begin{array}{l}a (a＞0)\\ 0 (a=0)\\ -a (a＜0)\end{array}}$
    及基本绝对值不等式:${\displaystyle a＞0时,\left|x\right|＜a\iff -a＜x＜a；\left|x\right|＞a\iff x＜-a或x＞a}$是解决本题的关键，也是解决其他较难绝对值不等式的基础，能将绝对值不等式转化为普通的不等式(组)，或将已知不等式从整体上解决，也可联系绝对值的几何意义求解.
    方法一的两不等式|2x-3|＞3和|2x-3|＜5须取交集，最好能画数轴帮助求解，既简便也不易出错；方法二的整体(换元)思想是要学会的重要手段；解法四利用绝对值的几何意义,必须先转化为${\displaystyle \frac{3}{2}＜|x-\frac{3}{2}|＜\frac{5}{2}}$,使x的系数为1

    解:方法一：分别求${\displaystyle |x-1|}$，${\displaystyle |x+2|}$的零点,即${\displaystyle 1}$，${\displaystyle -2}$.由${\displaystyle -2}$，${\displaystyle 1}$把数轴分成三部分:${\displaystyle x＜-2}$，${\displaystyle -2\le x\le 1}$，${\displaystyle x＞1}$
    当${\displaystyle x＜-2}$时,原不等式即${\displaystyle 1-x-2-x＜5}$
    解得${\displaystyle -3＜x＜-2}$
    当${\displaystyle -2\le x\le 1}$时,原不等式即${\displaystyle 1-x+2+x＜5}$
    因为${\displaystyle 3＜5}$恒成立，则${\displaystyle -2\le x\le 1}$
    当${\displaystyle x＞1}$时,原不等式即${\displaystyle x-1+2+x＜5}$
    解得${\displaystyle 1＜x＜2}$
    综上，原不等式的解集为${\displaystyle \{x|-3＜x＜2\}}$.

    方法二：不等式${\displaystyle |x-1|+|x+2|＜5}$的几何意义为数轴上到两个点的距离之和小于5的点组成的集合,而-2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在-2，1以外的点到-2,1的距离在-2，1外部的距离要计算两次,而在-2，1内部的距离只计算一次,因此 只要找出-2左边到-2的距离等于${\displaystyle \frac{5-3}{2}=1}$的点-3，以及1右边到1的距离等于${\displaystyle \frac{5-3}{2}=1}$的点2,这样，原不等式的解集为${\displaystyle \{x|-3＜x＜2\}}$

    评注:(1)一般地,对|x-m|+|x-n|＜a,,为叙述方便,不妨设m＜n,且m、n之间的距离小于a,那么从几何意义来看,求出m左边到m的距离等于${\displaystyle \frac{a-(n-m)}{2}}$的点${\displaystyle \frac{m+n-a}{2}}$,以及n右边到n的距离等于${\displaystyle \frac{a-(n-m)}{2}}$的点${\displaystyle \frac{m+n-a}{2}}$,则不等式的解集为${\displaystyle \{x|\frac{m+n-a}{2}＜x＜\frac{m+n+a}{2}\}}$.不难推出 ，x-m|+|x-n|≥a的解集为．

    (2)本题如果是求|x-m|-|x-n|＜a,则通过几何意义同样可以求出来；不妨设m＜n,显然m,n的中点${\displaystyle \frac{m+n}{2}}$到m，n两点的距离相等；m左侧的点(含m)到m，n的距离之差等于m-n，n右侧的点(含n)到m,n的距离之差等于n-m，且m，n之间的点到m，n的距离之差介于m-n和n-m之间,根据a的大小,可以确定原不等式的解集.

    解:由已知解集，易得${\displaystyle a＜0}$，此时,原不等式${\displaystyle a{x}^2+bx+c＞0}$可化为${\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}＜0}$，方程${\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}$的两个根为${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$
    ∴${\displaystyle \frac{b}{a}=-(\alpha +\beta )，\frac{c}{a}=\alpha \beta }$,
    ∵${\displaystyle 0＜\alpha ＜\beta ，a＜0}$，∴${\displaystyle \frac{c}{a}＞0}$即${\displaystyle c＜0}$
    因而不等式${\displaystyle c{x}^2+bx+a＜0}$可化为${\displaystyle x^2+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}＞0}$．
    由${\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{-(\alpha +\beta )}{\alpha \beta }=-(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta })}$可得${\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{1}{\alpha \beta }}$,
    而${\displaystyle \frac{1}{\alpha }、\frac{1}{\beta }}$是方程${\displaystyle x^2+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}=0}$的两个根.
    又∵${\displaystyle 0＜\alpha ＜\beta }$，∴${\displaystyle \frac{1}{\beta }＜\frac{1}{\alpha }}$.
    故不等式${\displaystyle c{x}^2+bx+a＜0}$的解集为${\displaystyle \{x|x＜\frac{1}{\beta }或x＞\frac{1}{\alpha }\}}$

   评注:(1)此题告诉我们 ，若${\displaystyle a{x}^2+bx+c＞0}$与${\displaystyle m{x}^2+nx+s＞0}$同解,则${\displaystyle a=mk，b=nk，c=sk，(k\ne 0)}$.
    (2)一元二次不等式${\displaystyle a{x}^2+bx+c＜0}$的“解在两边”可判断出a＜0.不等式${\displaystyle c{x}^2+bx+a＞0}$与变号后的不等式${\displaystyle x^2+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}＜0}$同解,但应注意选择“在两边”还是“在中间”应以后者“小于”为准.求解得到到根含参数时应讨论根的大小．

    解:(1)方法一：原不等式等价于
    即
    或．

     方法二:原不等式等价于
     或
     或
    故原不等式的解集为或．

    (2)方法一：原不等式等价于${\displaystyle \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-2x-15\ge 0\end{array}①}$或${\displaystyle \{\begin{array}{l}x＜0\\ x^2+2x-15\ge 0\end{array}②}$
    由①，得
    由②，得
    ∴原不等式的解集为${\displaystyle \{x|x\le -5或x\ge 5)}$

    方法二：${\displaystyle \because x^2={\left|x\right|}^2}$，
    ∴原不等式可视为关于${\displaystyle \left|x\right|}$的一元二次不等式${\displaystyle {\left|x\right|}^2-2\left|x\right|-15\ge 0}$．
    解得${\displaystyle \left|x\right|\ge 5}$或${\displaystyle \left|x\right|\le -3}$(舍去)，
    ${\displaystyle \therefore x\le -5}$或${\displaystyle x\ge 5}$．
    故原不等式的解集为${\displaystyle \{x|x\le -5或x\ge 5\}}$.

   评注:(1)本题利用绝对值的意义进行分类讨论，转化为代数不等式或不等式组．
    (2)本题主要体现的思想方法有分类讨论的思想、换元的方法．
    (3)解含有多个绝对值的不等式，一般可采用“零点分段”的方法，例如解不等式${\displaystyle |x-2|+|x+1|＞4}$．令${\displaystyle x-2=O}$，x+1=0，得${\displaystyle x=2}$，${\displaystyle x=-1}$．由零点${\displaystyle -1}$、${\displaystyle 2}$将数轴分为三段，故可分为三类：①${\displaystyle x＜-1}$，②${\displaystyle -1\le x＜2}$，③${\displaystyle x\ge 2}$，再进一步求解．
    当然对于${\displaystyle |x-a|+|x一b|＞k}$或${\displaystyle |x-a|+|x-b|＜k(k}$为正常数)，利用绝对值的几何意义求解较简捷，还应注意以下四类绝对值不等式的解法：
    ①${\displaystyle \left|f\left(x\right)\right|＜g(-x)\iff -g\left(x\right)＜f\left(x\right)＜g\left(x\right)}$；
    ②${\displaystyle \left|f(-x)\right|＞g\left(x\right)\iff f\left(x\right)＜-g\left(x\right)或f\left(x\right)＞g\left(x\right)}$；
    ③${\displaystyle \left|f\left(x\right)\right|＞\left|g\left(x\right)\right|\iff f^2\left(x\right)＞g^2\left(x\right)}$；
    ④${\displaystyle \left|f\left(x\right)\right|＜\left|g\left(x\right)\right|\iff f^2\left(x\right)＜g^2\left(x\right)}$．
    (4)解一元二次不等式${\displaystyle a{x}^2+bx+c＞O(a\ne 0)}$的思维过程：
    ①看二次项系数日的符号；
    ②看二次方程根的情况；
    ③利用二次函数${\displaystyle y=a{x}^2+bx+c}$的图象写出解集．

    解:(1)将${\displaystyle x_1=3，x_2=4}$分别代入方程${\displaystyle \frac{x^2}{ax+b}-x+12=0}$
    得${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{9}{3a+b}=-9\\ \frac{16}{4a+b}=-8\end{array}解得\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}}$所以${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^2}{2-x}(x\ne 2)}$
    (2)不等式即为${\displaystyle \frac{x^2}{2-x}＜\frac{(k+1)x-k}{2-x}}$可化为${\displaystyle \frac{x^2-(k+1)x+k}{2-x}＜0}$
    即${\displaystyle (x-2)(x-1)(x-k)＞0}$.
    ①当${\displaystyle 1＜k＜2}$时，解集为${\displaystyle x\in (1，k)\cup (2，+\infty )}$；
    ②当${\displaystyle k=2}$时，不等式为${\displaystyle {(x-2)}^2(x-1)＞0}$，解集为${\displaystyle x\in (1，2)\cup (2，+\infty )}$；
    ③当${\displaystyle k＞2}$时，解集为${\displaystyle x\in (1，2)\cup (k，+\infty )}$.

    评注:本题主要考查分式不等式、含参数不等式的解法等基础知识，考查分类讨论的思想及运算能力．

    解:(1)∵f(x)+2x＞O的解集为${\displaystyle (1，3)}$，
    设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a＜O．
    因而${\displaystyle f\left(x\right)=a(x-1)(x-3)-2x=a{x}^2-(2+4a)x+3a}$．①
    由方程${\displaystyle f\left(x\right)+6a=0，得a{x}^2-(2+4a)x+9a=0}$． ②
    ∵方程②有两个相等的根，
    ∴△=${\displaystyle {[-(2+4a)]}^2-4a•9a=0，即5a^2-4a-1=0}$．
    解得${\displaystyle a=1}$或${\displaystyle a=-\frac{1}{5}}$．由于${\displaystyle a＜0}$，舍去${\displaystyle a=1}$．
    将${\displaystyle a=-\frac{1}{5}}$代入①，得f(x)的解析式为
    ${\displaystyle f\left(x\right)=-\frac{1}{5}{x}^2-\frac{6}{5}x-\frac{3}{5}}$

    (2)由${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^2-2(1+2a)x+3a=a{(x-\frac{1+2a}{a})}^2-\frac{a^2+4a+1}{a}，又a＜0，可得f\left(x\right)的最大值为-\frac{a^2+4a+1}{a}}$．
    由${\displaystyle \{\begin{array}{l}-\frac{a^2+4a+1}{a}＞0\\ a＜0\end{array}}$
    解之，得${\displaystyle a＜-2-\sqrt{3}}$或${\displaystyle -2+\sqrt{3}＜a＜0}$．
    故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是${\displaystyle (-\infty ，-2-\sqrt{3})\cup (-2+\sqrt{3}，0)}$．

    评注:本题考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程等知识．要进一步理解和掌握三者间的关系，学会利用二次函数图象的直观性研究一元二次方程根的性质和一元二次方程解集的变化．