二、重点难点
    重点:集合、子集、补集、交集、并集的概念及其表示.

    难点:含参数的集合问题的分析与解决.

    三、特别提示
    1、对于集合问题，要确定属于哪一类集合(数集、点集或某类图形)，然后再确定处理此类问题的方法．
    2、关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行运算．
    3、含参数的集合问题，多根据集合的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形结合的思想．
    4、集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通．

    应用举例
    一、应用特点
    1、用集合的概念解题；
    2、用韦恩图解题；
    3、集合中交、并、补的运算.

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、记函数${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{2-\frac{x+3}{x+1}}}$的定义域为${\displaystyle A}$，${\displaystyle g\left(x\right)=\text{lg}\left[(x-a-1)(2a-x)\right](a＜1)}$的定义域为${\displaystyle B}$.
    (1)求${\displaystyle A}$；
    (2)若${\displaystyle B\subseteq A}$，求实数${\displaystyle a}$的取值范围.

提示	示范
分别求出定义域为${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$是关键，但是${\displaystyle B}$带有字母，注意讨论字母的取值范围.
解:(1)${\displaystyle 2-\frac{x+3}{x+1}\ge 0，得\frac{x-1}{x+1}\ge 0，x＜-1}$或${\displaystyle x\ge 1}$，即${\displaystyle A=(-\infty ，-1)\cup [1，+\infty )}$     (2)由${\displaystyle (x-a-1)(2a-x)＞0}$，得     ${\displaystyle (x-a-1)(x-2a)＜0}$     ${\displaystyle \because a＜1，\therefore a+1＞2a,\therefore B=(2a,a+1)}$     ${\displaystyle \because B\subseteq A，\therefore 2a\ge 1}$ 或 ，即 ${\displaystyle a\ge \frac{1}{2}}$ 或 ，而 ${\displaystyle a＜1}$     或 ，故当${\displaystyle B\subseteq A}$时，实数${\displaystyle a}$的取值范围是${\displaystyle (-\infty ,-2)\cup [\frac{1}{2},1)}$.     评注:对于${\displaystyle B\subseteq A}$，注意等价说法：${\displaystyle A\cup B=A}$或${\displaystyle A\cap B=B}$，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，特别是用互异性筛出不具备条件的元素是解题方法.

    2、如图所示，设${\displaystyle M}$、${\displaystyle P}$是两个非空集合，定义${\displaystyle M}$与${\displaystyle P}$的差集${\displaystyle M-P=\{x|x\in M}$且${\displaystyle x\notin P\}}$则${\displaystyle M-(M-P)}$等于(    ).
    A.${\displaystyle P}$         B.${\displaystyle M\cap P}$        C.${\displaystyle M\cup P}$       D.${\displaystyle M}$
     

提示	示范
将题中的${\displaystyle M-P}$用我们熟悉的交、并、补运算来表示，根据差集定义，“${\displaystyle x\in M}$且${\displaystyle x\notin P}$”等价于“${\displaystyle x\in M\cap C_{U}P}$”.
解:设全集为U，则${\displaystyle M-P=M\cap C_{U}P}$．于是有${\displaystyle M-(M-P)=M-(M\cap C_{U}P)=M\cap C_U(M\cap C_{U}P)}$，由韦恩图可得${\displaystyle M-(M-P)=M\cap P}$．故选B．     答案:B     评注:这是一道新定义的集合运算迁移题．由于给出的新定义，以及所解决的问题中的集合都是抽象的集合．这时若类比于实数的运算，则得出错误结论．而用图示法，则有助于对新定义的理解．

    3、设全集${\displaystyle U=\{2，3，a^2+2a-3\}}$，${\displaystyle A=\{|2a-1|，2\}，C_{U}A=\left\{5\right\}}$，求实数a的值.

提示	示范
${\displaystyle C_{U}A=\left\{5\right\}}$，它说明了两层含义，即${\displaystyle 5\in U}$，且${\displaystyle 5\notin A}$，这样解题的思路和方法就很明显了.
解:${\displaystyle \because C_{U}A=\left\{5\right\}}$，${\displaystyle \therefore 5\in U}$，且${\displaystyle 5\notin A}$     ${\displaystyle \therefore a^2+2a-3=5}$     解得${\displaystyle a=2}$或${\displaystyle a=-4}$     当${\displaystyle a=2}$时，${\displaystyle |2a-1|=3\ne 5}$；     当${\displaystyle a=-4}$时，${\displaystyle |2a-1|=9\ne 5}$，但${\displaystyle 9\notin U，\therefore a=2}$．     评注:由题设条件求得${\displaystyle a=2}$或${\displaystyle a=-4}$后，验证其是否符合隐含条件${\displaystyle A\subseteq U}$是必要的，否则会把${\displaystyle n=-4}$也误认为是本题的答案．集合是一种数学语言，如果不能从这种语言中破译出它的全部意义，就会出现失误．

    学习感悟
    1、对集合表示和认识，要以代表元素为切人点，首先明确元素的特性，再去看元素满足的条件．
    2、当集合元素用参数表示时，要注意集合元素的互异性．
    3、确定集合之间的关系，要充分利用集合元素的特征性质研究元素的构成．会借数轴，平面区域，图形等判断两个集合之间的包含关系，同时会利用${\displaystyle A\subseteq B}$，A=B等条件求集合中字母的值．利用${\displaystyle A\subseteq B}$求字母值时，不要忽略${\displaystyle A=\varnothing }$的情况，另外当B为有限集时可以列出A的所有情况求字母的值．利用A=B求字母值时，根据对应元素求出的值，要重新代入集合检验．
    4、辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，将元素列举来直观发现，也可以从描述法中元素具备的
特性人手作定性分析，求同存异．
    5、空集和全集是特殊集合，应引起重视，必要时对集合是否为空集分类讨论，避免重复和遗漏．
    6、常用韦恩图直观表示集合之间的关系，或利用数轴和平面直角坐标系来反映集合及其关系．
    7、处理含参数的集合包含关系时，要注意端点值的取舍，必要时可单独考虑．