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12.2.4两种特殊的双曲线<-->12.3.1抛物线的定义
双曲线与点的位置关系
Ⅰ、位置关系：
对于双曲线 而言，已知点 。
Ⅱ、判断方法：
(1)“以点代面”判断法：
即在双曲线外找一特殊的点 （如 ），将其坐标代入双曲线方程 的左边式子，得 或 ，则判断出 或 的点与所找的特殊点属于同一区域。
(2)“位置结论”判断法：
对于双曲线 而言，已知点，
若  则点P在双曲线上；
若则点P在双曲线外；
若则点P在双曲线内。
双曲线与直线的位置关系
Ⅰ、双曲线与直线的位置关系：
Ⅱ、双曲线与直线位置关系的判断方法：
已知双曲线 ： ，直线 联立得
  ，
1o 若 ，则方程组有唯一一组解或无解，双曲线与直线相交于一点或不相交；
2o 若 ，则 ，那么
当 时，双曲线与直线相交于两点；当 时，双曲线与直线相切于一点；当 时，双曲线与直线不相交，即相离。
Ⅲ、双曲线与直线位置关系的特点研究：
1o 双曲线与直线相交于 两点，若直线的斜率为k，则弦长 为
 。
2o 双曲线与直线相切于点 ，若双曲线方程是 ，
则过切点的双曲线切线方程为
 。
此外，求双曲线切线方程的一般方法是：“联立—消元— ”。
3o 双曲线与直线相离，则可求双曲线与直线距离最近的点，或求直线与双曲线最短的距离。
设双曲线： ，直线。
方法1：如图， 是双曲线上任意一点，求点 到直线 的距离的最小值，这最小值就是直线与双曲线的最短距离。即求 的最小值。
方法2：如图，平行于直线的动直线 ： 与双曲线相切时，平行线与之间的较短距离就是直线与双曲线最短的距离。
双曲线与圆的位置关系
Ⅰ、只限于双曲线与圆有共同对称轴时，研究双曲线与圆的最小距离。
由于圆的半径是不变的，双曲线与圆的最小距离就转化为定圆的圆心与双曲线的最小距离。
Ⅱ、如图，设双曲线 ： 的点 ，圆 ： ， 与圆 交于点 ，则
求 的最小值转化为求二次函数
在区间 或 上的最小值，于是
 。
Ⅲ、如图，设双曲线： 的点，圆： ，与圆交于点，则
求的最值转化为求二次函数
在 上的最小值，于是
。
12.2.4两种特殊的双曲线<-->12.3.1抛物线的定义
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