2020年高考数学天津17<-->2020年高考数学天津19
已知椭圆（）的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点。
（1）求椭圆的方程。
（2）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，求直线的方程。
（1）因为椭圆（）的一个顶点为，
所以。
又因为椭圆右焦点为，且，
所以，
所以椭圆的方程为。
（2）因为点在椭圆上（异于椭圆的顶点），，
根据题意可知，直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，
联立直线的方程和椭圆方程，
整理得，
解得或，
则点的横坐标为，
纵坐标为。
因为点为线段的中点，
且，，
所以点。
因为，
所以，且向量与同向，
则点的坐标为，
因为直线与以为圆心的圆相切于点，
则，
即，
则直线的方程为或。
本题主要考查直线与圆锥曲线、圆锥曲线以及圆与方程。
（1）由椭圆顶点可得，再由可得，进而求得，即可得到椭圆的方程。
（2）首先设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，求解即可得到点的坐标，再由点为线段的中点，进而求得点的坐标。由条件可求得点的坐标。直线与以为圆心的圆相切于点，可得，得到关于的一元二次方程，求解即可求得直线的方程。
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