2020年高考数学全国卷Ⅱ--理20<-->2020年高考数学全国卷Ⅱ--理22
已知函数。
（1）讨论在区间上的单调性。
（2）证明：。
（3）设，证明：。
（1），
所以，
令得，
因为，
所以，，
即，
解得，
即或，
所以或时，此时单调递增，
同理化简得，
解得，此时单调递减，
综上所述，在，上单调递增，在上单调递减。
（2），
所以函数的周期为，
所以其最大值、最小值在每个周期上均相等，
所以只需证明在上有，
根据单调性得在处有极大值，在处有极小值，
因为，，，，
所以。
（3）由（2）可得，
所以
，
即。
本题主要考查函数的概念与性质、函数综合以及导数在研究函数中的应用。
（1）先化简函数，根据导数的正负即可判断单调性。
（2）判断函数的周期性，求出单个周期内的最大值和最小值即可证明。
（3）将原不等式替换为，进行化简，即可证明。
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