2020年高考数学江苏19<-->2020年高考数学江苏21
已知数列（）的首项，前项和为。设和为常数，若对一切正整数均有成立，则称此数列为“”数列。
（1）若等差数列是“”数列，求的值。
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式。
（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
（1）因为等差数列是“”数列，
所以，
所以。
（2）因为数列是“”数列，
所以 ①，
所以
，
所以 ②，
①②两式相加得，
即，
又因为，
所以（），
当时，，
所以（）。
（3）若数列为“”数列，
则，
两边同时除以得： ③，
令，
因为，，
所以，即，
所以③式可化为：，
解得（舍去），
即。
此时只有一个数列，不满足题意。
当时，原方程为。
令，则方程可化为，
若，由上述讨论可知不满足题意，
所以只考虑，
所以有，
所以或。
不满足题意，
时，原方程为，
可得，
由上述讨论知，不符合题意，
解得。
此时有两个解，分别为，，
所以，，所以，
此时共有三个解，其中，
则对任意的，或或，
此时，，均符合条件，
所以，，，
此时满足题意。
综上所述，的取值范围是。
本题主要考查等差数列和数列综合。
（1）由数列为“”数列，可得，可得。
（2）根据数列为“”数列，有，引用，可得，两式相加可得和的关系，即可求得通项。
（3）根据数列为“”数列，得到关于，，的方程，令，可得，分为和讨论，即可求得答案。
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