2019年高考数学天津--理19<-->返回列表
（本小题满分14分)
设函数，为的导函数。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明。
（Ⅰ）由题意得，因此当（）时，
有，得，则单调递减；
当（）时，有，得，则单调递增。
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为（）。
（Ⅱ）记，由题意及（Ⅰ）可知有，
从而，当时，，
故，
因此在区间上单调递减，进而。
所以当时，。
（Ⅲ）由题意得，即，
记，则，且（）。
由及（Ⅰ）得。
由（Ⅱ）知，当时，，
所以在上为减函数，因此。
又由（Ⅱ）知，
故。
所以。
本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）先对函数求导得到，由此即可求出的单调递增区间为，的单调递减区间为（）。
（Ⅱ）先构造函数，由可得，由此可求出在区间上单调递减，进而，即当时，。
（Ⅲ）记，则，且（），由此可求出在上为减函数，所以有。又，所以。
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