2019年高考数学新课标1--理17<-->2019年高考数学新课标1--理19
（12分）
如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点。
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值。
（1）由题可得，四边形为菱形，且，
连接，则。
又因为为的中点，则，
所以，即，
又因为平面，平面，平面，
则，，
所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示，
由为中点，为中点，为中点，，，
可得，，，
则，，，
则，所以，，
又因为平面，平面，
所以平面。
（2）由题可得，，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
所以，，，，
所以由可得，
令，则，，则。
又因为，所以，
设二面角为，
则
，
所以二面角的正弦值为。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间向量的应用。
（1）建立以为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，将，分别用空间向量坐标表示，通过可得，即，又因为平面，平面，则平面。
（2）设平面的法向量为，平面的法向量为，通过，可得法向量，由，可得法向量，即可得所求二面角余弦值的绝对值，从而求得正弦值。
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