2019年高考数学北京--理15<-->2019年高考数学北京--理17
（本小题分）如图，在四棱锥中，平面，，，，。为的中点，点在上，且。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点在上，且。判断直线是否在平面内，说明理由。
（Ⅰ）因为平面，平面，
所以。
又因为，，，平面，
所以平面。
（Ⅱ）过点作，交于点，则，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则
即
令，则，，
则为平面的一个法向量，
由（Ⅰ）可得平面，
所以平面，
即为平面的一个法向量，，
设二面角为，由图可得，
，
即二面角的余弦值为。
（Ⅲ）由（Ⅱ）得平面的一个法向量为。
因为在上，且，
，，
所以，，，
因为，
又因为点平面，
所以直线在平面内。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间向量的应用。
（Ⅰ）根据题目条件利用线面垂直的判定定理即可得平面。
（Ⅱ）过点作，交于点，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，由可得，由（Ⅰ）可得为平面的法向量，设二面角为，则。
（Ⅲ）判断与平面的法向量是否垂直，若垂直，则直线在平面内。
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