2018年高考数学天津--文19<-->返回列表
设函数，其中，，，且，，是公差为的等差数列。
（Ⅰ）若，，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，求的极值；（Ⅲ）若曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围。
（Ⅰ）由已知，可得，故，因此，，
所以曲线在点处的切线方程为，故所求切线方程为。
（Ⅱ）由已知可得，
=
，
故。
令，解得或。
当变化时，，的变化情况如下表：
所以函数的极大值为；
函数的极小值为。
（Ⅲ）曲线与直线有三个互异的公共点等价于关于的方程有三个互异的实数解，
令，可得。
设函数，
则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个零点。
当时，，这时在上单调递增，不合题意。
当时，令，解得，，
易得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值，
的极小值，
若，由的单调性可知函数至多有两个零点，不合题意。
若，即，也就是，
此时，，
且，，
从而由的单调性，可知函数在区间，，内各有一个零点，符合题意。
所以的取值范围是。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）直接对求导，代入点坐标，即可求得在该点的切线方程。
（Ⅱ）将和都用表示，代入，再对求导，判断其单调性。
（Ⅲ）先将和都用表示，代入中，令，得到，仅需证明在其定义域内有三个不同的零点即可。
全网搜索"2018年高考数学天津--文20"相关
