2018年高考数学天津--文16<-->2018年高考数学天津--文18
如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。
（Ⅰ）证明：由平面平面，平面平面，，
可得平面，故。
（Ⅱ）取棱的中点，连接，，
又因为为棱的中点，故，
所以（或其补角）为异面直线与所成的角。
在中，，
故，
因为平面，
故。
在中，，故。
在等腰三角形中，，可得。
所以，异面直线与所成角的余弦值为。
（Ⅲ）连接。因为为等边三角形，为边的中点，故，，
又因为平面平面，而平面，
故平面，所以，为直线与平面所成的角。
所以，直线与平面所成角的正弦值为。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系。
（Ⅰ）由平面平面和，得到平面，即可证明。
（Ⅱ）取的中点，因为，（或其补角）为异面直线与所成的角，即可求解。
（Ⅲ）根据平面平面和，得到为直线与平面所成的角，即可求解。
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