2018年高考数学上海20<-->返回列表
给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”。
（1）设是首项为，公比为的等比数列，，。判断数列是否与接近，并说明理由；
（2）设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；
（3）已知是公差为的等差数列。若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有个为正数，求的取值范围。
（1）与接近。理由如下：
由题可知，。
则，。
故，。
因为，则，故，所以。
即，。故与接近。
（2）因为，，，，
又与接近，所以，。
所以。
则，，，。
则当时，中只有、、三个元素，；
当时，中有、、、四个元素，。
故中元素的个数为：或。
（3）因为，所以，，
所以，
即，
①若，则恒成立，不符合条件。
②若，令，。
则，与接近。
此时，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
当从取到时，恰可以取到个奇数，个偶数，
即在，，，中，存在个正数与个负数。
故时，存在数列，其通项公式为，，
在，，，中有个为正数，此数列是满足题意的。
综上所述，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有个为正数，则的取值范围为。
本题主要考查数列的递推与通项和不等关系与不等式。
（1）根据等比数列的性质求出的通项，根据题意证明即可。
（2）根据所给的定义得到，，，可能的取值，即为中的元素的个数。
（3）根据分情况讨论的正负，得到的取值范围。
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