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2018年高考数学新课标3--文21

(2018新课标Ⅲ卷计算题)

已知函数。

(1)求曲线在点处的切线方程;

(2)证明:当时,。

【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷):文数第21题
【答案】

(1)因为,

所以,

所以,

所以曲线在点处的切线方程为。

(2)因为,

所以,

因为,

所以,所以,

令,或,

所以函数在和上单调递减,在上单调递增。

当时,,,

所以,即;

当时,在上单调递减,在上单调递增,

所以,

要证,即证,

令,(),

所以在上恒成立,

所以在上单调递增,

,所以在上恒成立。

故综上所述,当时,。

【解析】

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

(1)求出的导数,计算切线的斜率即可得到切线的解析式。

(2)根据导数和的取值,判断的单调性。分区间讨论的大小。

【考点】
导数在研究函数中的应用
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