2018年高考数学江苏17<-->2018年高考数学江苏19
如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，，圆的直径为。
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）设直线与圆相切于第一象限内的点。
①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；
②直线与椭圆交于，两点。若的面积为，求直线的方程。
（1）设椭圆方程为（）。
因为焦点，，
所以 ①，
将代入椭圆，得②，
联立①②，解得，。
所以椭圆的标准方程为。
因为圆的直径为，
所以圆的半径，
所以圆的方程为。
（2）设，则，且。
因为切点在第一象限内，所以切线的斜率必存在。
所以可设直线为。
因为所在直线的斜率为，且，
所以，即直线为。
将代入，得，
所以直线为。
联立椭圆方程，得（）。
①若直线与椭圆有且只有一个公共点，则，
即。
将代入，解得或，
又因为，，
所以，即。
②因为三角形的面积为，所以，从而。
设，，
根据（）得，，，
，
将，和代入式子，化简得
解得或。
因为，
所以，。
所以，，
将代入直线：，
得直线的方程为。
本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线。
（1）根据焦点，可得 ①，将代入椭圆的方程，得②，联立①②得，，即可求椭圆的方程。根据圆的直径为，圆心为即可求圆的方程。
（2）由题意，直线的斜率必存在，设直线为，切点为。根据可求直线的斜率，再将代入直线，得。与联立椭圆方程，得。
①若直线与椭圆有且只有一个公共点，则，则有，将，结合，的范围即可求解，得到。
②因为直线与圆相切，故，根据，求得的值，再将，和代入，用表示的值，建立的等式，求出与的值。
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