2018年高考数学北京--理18<-->2018年高考数学北京--理20
已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于。
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值。
（Ⅰ）因为抛物线：经过点，所以，所以，
所以抛物线的解析式为。
又因为直线过点，且直线与抛物线有两个不同的交点，
易知直线斜率存在且不为，
故可设直线的方程式为。
根据题意可知直线不能过点，
所以直线的斜率。
若直线与抛物线的一个交点为，
此时该点与点所在的直线斜率不存在，则该直线与轴无交点，与题目条件矛盾，
此时，所以直线斜率。
联立方程得，
因为直线与抛物线有两个不同的交点，
所以，所以。
故直线的斜率的取值范围是且且。
（Ⅱ）证明：设点，，则，，
因为，所以，故，
同理，
设，
直线的方程为，
令，得①，
同理可得②，
因为③，
将①②代入③可得，
又由根与系数的关系：，，
所以，
所以为定值。
本题主要考查直线与圆锥曲线。
（Ⅰ）由题意易得直线斜率存在且不为，且直线、斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出，解不等式即可得直线斜率的范围。
（Ⅱ）根据，，得出、与点、坐标之间的关系，
再根据、、在同一直线上，、、在同一直线上，得出、与点、坐标之间的关系，
根据（Ⅰ）中联立所得的方程得出点、横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得为定值。
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