2016年高考数学江苏18<-->2016年高考数学江苏20
（本小题满分16分）
已知函数（，，，）。
（1）设，。
①求方程的根；
②若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
（2）若，，函数有且只有个零点，求的值。
（1）①，令，则，有，解得，；
②即，令，因为，所以，当时取等号，又因为，所以等价于恒成立，整理得，而，当且仅当时取等，所以的最大值为；
（2）因为函数只有个零点，而，所以是函数的唯一零点。因为，又由，知，，所以有唯一解。令，则，从而对任意，，所以是上的单调增函数。于是当时，；当时，。因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数。
下证。
若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为，因为，所以，又，同理可得，在和之间存在的非的零点，矛盾。因此，。
于是，故，所以。
本题主要考查指数与指数函数。
（1）①代入数值得到函数，令其等于，求解即可；
②令，简化求解，题干等价于恒成立，整理求解即可；
（2）对函数求导，讨论其单调性及取值，分类讨论即可。
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