2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数（）。
（I）若在上的最大值和最小值分别记为，，求；
（II）设，若对恒成立，求的取值范围。
（1）因为，所以
由于，
（i）当时，有，故，此时在上是增函数，因此，，，故。
（ii）当时，若，，在上是增函数；若，，在上是减函数，所以，。由于，因此
当时，；
当时，。
（iii）当时，有，故。此时在上是减函数，因此，，，故。
综上，
（2）令，则，
因为对恒成立，即对恒成立。
所以由（1）可知
（i）当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则且，矛盾。
（ii）当时，在的最小值是，最大值是，所以且，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此；
（iii）当时，在上的最小值是，最大值是，所以且，解得；
（iV）当时，在上的最大值是，最小值是，所以且，解得。
综上，的取值范围是。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）利用题目所给的条件，通过对函数求导，得出单调性，求出函数在上的最大值及最小值，即可求得最大值与最小值的差；
（2）可先令，求导分类讨论，可得其单调性，从而利用在上的取值范围即可求出的取值范围。
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