2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第18题

（Ⅰ）如图，

取中点，联结。

由侧视图及俯视图知，，为正三角形，因此，。

因为，平面内，且。

所以平面。

因为平面，所以。

取的中点，连接。

又分别为线段的中点，所以，。

因为，所以。因为，所以。

因为，平面，且，所以平面。

又因为平面，所以。又，平面，平面，所以。因为为中点，故

为中点。

（Ⅱ）解法一：

如图，作于，连接。由（Ⅰ）知，，所以。因为，所以为二面角的一个二面角。

由（Ⅰ）知，，为边长为的正三角形，所以。由俯视图可知，平面，因为平面，所以，因此在等腰中，。作于，在中，，所以。

因为在平面内，，，所以。又因为为的中点，所以为的中点，因此。同理可得。所以在等腰中，。故二面角的余弦值是。

解法二：由俯视图及（Ⅰ）可知，平面，因为，平面，所以，。又，所以直线，，两两垂直。如图，

以为坐标原点，以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系。

则，，，。因为分别为线段的中点，又由（Ⅰ）知，为线段的中点，所以，，。于是，，，。

设平面的一个法向量，则即有从而。

取，则，，所以。设平面的一个法向量，则即有从而。取，所以。设二面角的大小为，则。故二面角的余弦值是。