2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第20题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：理数第22题
（本小题满分13分）
如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为。已知，且。
（Ⅰ）求，的方程；
（Ⅱ）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值。
（1）因为，所以，
即，因此，从而，，
于是，所以，。
故，的方程分别为，。
（2）因为不垂直于轴，且过点，
故可设直线的方程为。
由得。
已知此方程的判别式大于，设，，
则，是上述方程的两个实根，
所以，。
因此，
于是的中点为，
故直线的斜率为，的方程为，即。
由得，所以，且，，
从而。
设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，
所以。
因为点、在直线的异侧，
所以，
于是，
又因为，
故四边形的面积
。
而，故当时，取得最小值。
综上所述，四边形的面积的最小值为。
本题主要考查椭圆及双曲线。
（1）利用已知条件即可求出，从而可求出椭圆及双曲线的标准方程；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，解出交点坐标，用未知数表示出所求图形的面积，利用未知数的取值范围即可求出所求图象面积的最小值。
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