2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：理数第22题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数，。
（Ⅰ）若直线与的反函数的图像相切，求实数的值；
（Ⅱ）设，讨论曲线与曲线 公共点的个数；
（Ⅲ）设， 比较与的大小，并说明理由。
（Ⅰ）的反函数为。
设直线与的图象在处相切，则有，，解得，；
（Ⅱ）曲线与的公共点个数等于曲线与的公共点个数。
令，则，所以。
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增。
所以，在上的最小值为。
当时，曲线与无公共点；
当时，曲线与恰有一个公共点；
当时，在区间内存在，使得，在内存在，使得。由的单调性知，曲线与在上恰有两个公共点。
综上所述，当时，若，曲线与没有公共点；若，曲线与有一个公共点；当，曲线与有两个公共点。
（Ⅲ）可以证明，事实上，（）（*）。
令（），则（仅当时等号成立），所以在上单调递增，所以时，，令，即得（*）式，结论得证。
本题主要考查导数在函数中应用。
（Ⅰ）求解函数的反函数，然后利用相切，设出切点坐标，求出反函数导数，和直线斜率相同，求出斜率值。
（Ⅱ）用表示，利用解析式进行求导，分析函数的单调性，从而确定每个函数值对应几个横坐标，即为取该值时，对应几个公共点。
（Ⅲ）将不等式进行变换可得到（），构造函数（），通过函数单调性即可判断不等式成立，从而得到。
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