2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第20题
（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，、分别是线段、的中点，是线段的中点。
（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值。
（Ⅰ）如图，在平面内，过点作直线，因为在平面外，在平面内，由直线与平面平行的判定定理可知，平面，由已知，，是的中点，所以，，则直线，因为平面，所以直线，又因为，在平面内，且与相交，所以直线平面。
（Ⅱ）解法一：
连结，过作于，过作于，连接。由（Ⅰ）知，平面，所以平面平面。所以平面，则。所以平面，则。故为二面角的平面角（设为）。设，则由，，有，，。又为的中点，所以为中点，且，。所以在中，；在中，。从而，，所以，，故二面角的余弦值为。
解法二：
设，如图，过作平行于，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系（点与点重合），则，。因为的中点，所以分别为，的中点，故，，所以，，。设平面的一个法向量为，则，即，故有，从而，取，则，所以。设平面的一个法向量为，则，即，故有，从而，取，则，所以。设二面角的平面角为，又为锐角，则，故二面角的余弦值为。
本题主要考查立体几何线面垂直、二面角的求解。
（Ⅰ）证明线面垂直，只需证明线与面中两条相交直线垂直；
（Ⅱ）解法一：（几何法）作图找到为二面角的平面角，求出二面角余弦值即可；解法二：（建系法）建立平面直角坐标系，然后求出两个半平面的法向量，。然后由可得二面角的平面角的余弦值。
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