2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第25题<-->返回列表
（本题满分10分）
设数列：，，，，，，，，，，，，，即当时，。记。对于，定义集合是的整数倍，，且。
（1）求集合中元素的个数；
（2）求集合中元素的个数。
（1）由数列的定义得，，，，，，，，，，，所以，，，，，，，，，，，从而，，，，，所以集合中元素的个数为。
（2）先证：。
①当时，，，故原等式成立；
②假设时成立，即，则时，
综合①②可得对任意成立。
于是。
由上可知是的倍数，而，
所以是的倍数。
又不是的倍数，而，
所以不是的倍数，
故当时，集合中元素的个数为，
于是，当时，集合中元素的个数为。
又，故集合中元素的个数为。
本题主要考查数列的应用与数学归纳法。
（1）根据题意把，表示出来，逐个验证即可；
（2）观察（1）问的解答过程，可得，，，所以假设成立，应用数学归纳法证明。进一步得到。
由可得是的倍数，而，所以是的倍数。又不是的倍数，而，所以不是的倍数，故当时，集合中元素的个数为，于是，当时，集合中元素的个数为。
观察可得，故集合中元素的个数为。
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