2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第22题
（本小题满分13分）
设，，已知函数。
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数。
（ⅰ）判断，，是否成等比数列，并证明；
（ⅱ）、的几何平均数记为。称为、的调和平均数，记为。若，求的取值范围。
（Ⅰ）的定义域为，。
当时，，函数在，上单调递增；
当时，，函数在，上单调递减 。
（Ⅱ）（ⅰ）计算得，，。故，即 ①。所以，，成等比数列。因为，即，由①得。
（ⅱ）由（ⅰ）知。故由，得 ②。
当时，，这时，的取值范围为；
当时，，从而，由在上单调递增与②式，得，即的取值范围为；
当时，，从而，由在上单调递减与②式，得，即的取值范围为。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）首先需要求解函数的定义域，然后利用函数的导函数在定义域上取值的正负来研究函数的单调性；
（Ⅱ）（ⅰ）依题设条件可以分别计算出的值利用等比数列的性质并结合基本不等式本小题即可得证；
（ⅱ）结合（ⅰ）及函数的单调性对进行分类讨论分别求出的取值范围即可。
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