2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第19题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数，，其中。
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记，求函数在区间上的最小值。
（Ⅰ），
由，得，，
当变化时，，的变化情况如下表：
故函数的单调递增区间是，；
单调递减区间是。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间内单调递增，
在区间内单调递减。
从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当
，解得，
所以，的取值范围是。
（Ⅲ）当时，，
由（Ⅰ）知，在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增。
（1）当时，，，
在上单调递增，在上单调递减。
因此，在上的最大值，
而最小值为与中的较小者，
由知，
当时，，故，
所以。
而在区间上单调递增，因此，
所以在上的最小值为。
（2）当时，，且，
下面比较，，，的大小。
由在，上单调递增，有
，
又由，，
从而，，
综上：函数在区间上的最小值为。
本题主要考查导数在研究函数中的应用的相关知识。
（Ⅰ）根据原函数求出其导函数，得出导函数等于0的根，再讨论在不同区间上的正负，即可得出的单调区间。
（Ⅱ）如图，及（Ⅰ）中得到的单调区间可知，
要使函数在区间内恰有两个零点当且仅当：，由此得出的取值范围。
（Ⅲ）当时，，所以只需讨论在区间上的单调性与最值即可。由于在不同区间上的极值不同，所以仍需对进行分类讨论，以确定不同区间上的的最小值。
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