2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第19题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知数列与满足：，，，且，。
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）设，，证明：是等比数列；
（Ⅲ）设，，证明：（）。
（Ⅰ）由，。
可得：
又，
由，可得：
当时，，可得；
当时，，可得。
（Ⅱ）对任意，
②-③得：
将④代入①，可得，即（）。
又，故。因此，所以是等比数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：。
于是，对任意且，有，，，，。
将以上各式相加，得，
即，此时当时也成立。
由④式得：，
从而，
。
所以，对任意，，
对于，不等式显然成立。
所以，对任意，可得：（）。
本题主要考查等比数列的定义、数列求和的基础知识和基本计算。
（Ⅰ）由已知条件，，，，依次代入，求出，，的值。
（Ⅱ）由和得出间的关系式，此步的目的是与形式统一，从而导出的关系式，进而证明是等比数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）问有：，通过累加得，则有。通过的通项求出的通项，代入到，通过放缩推导证明。
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