2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） ：理数第20题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） ：理数第22题
（本小题满分13分）
如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。
（Ⅰ）求，的方程。
（Ⅱ）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交与、。
（i）证明：；
（ii）记、的面积分别是、。问：是否存在直线，使得？请说明理由。
（Ⅰ）由题意知，从而，又，解得，。
故，的方程分别为，。
（Ⅱ）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为。
由得。
设，，则，是上述方程的两个实根，于是，。
又点的坐标为，所以
故，即。
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，
由解得或，
则点的坐标为。又直线的斜率为，同理可得点的坐标为。
于是。
由得，
解得或
则点的坐标为。
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为。
因此。
由题意知，，解得或。
又由点、的坐标可知，，所以。
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。
本题主要考查圆锥曲线的方程
（1）本题应该根据椭圆的方程，得到，又因为轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长，再得到，将所得到的两式联立，便可求得的值，进一步得到，的方程。
（2）①先设出直线的方程，再将直线的方程与抛物线方程联立，便可通过韦达定理得到含两点坐标的等量关系，然后再证明出，便可证明。
②先把直线的方程与抛物线方程联立可得点的坐标，再通过弦长公式求出，同理求出，又因为，所以，于是可求出；同理求出。将其代入已知条件进行计算，便可得出结论。
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