2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）：理数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
在平面直角坐标系上，给定抛物线，实数满足，是方程的两根，记。
（1）过点作的切线交轴于点。证明：对线段上的任一点，有；
（2）设是定点，其中满足。过作的两条切线，切点分别为与轴分别交于。线段上异于两端点的点集记为，证明：；
（3）设，当点取遍时，求的最小值（记为）和最大值（记为）。
（1）因为，所以，过点的切线方程为
即，从而，又在直线上，故，其中
所以方程为，解得，。
由于，且，同号，所以，所以。
（2）过点且切点为的的切线方程为：
因为，所以且，因为，
所以，即，
即，所以，所以。
因为，且，同号，所以。
反之也成立，所以，可推出。
由（1）可知，，可推出，反之，逆推也成立，所以，
综上，。
（3）此题即求当点取遍时，方程的绝对值较大的根的最大值与最小值，
解方程得，因为，
令，解得或，所以，，
因为，所以，于是，
所以，所以，
设，令，则，
则，所以。
综上，当，或,时，；当，时，。
本题主要考查平面解析几何及数形结合的思想。
（1）先算出切线，再计算出点，根据、算出，计算方程的两根即可得。
（2）由知两条切线存在且不相同，定点在两条切线上，可知定点坐标满足两切线的方程，由此可得。若已知某点在两点所连直线上，则该点在这两点所连线段上等价于该点横坐标在两端点的横坐标之间，即，且同号，结合，可知；由（1）知，而时，，且，可得，即，所以；
（3）作出可行域如图：
由求根公式得，由可知，由，可得当取得定值时，，即，由，可得的取值范围。
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