（15分）设整数$N\geqslant 2$，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮$N$次，当且仅当投中1次时或$N$次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为$p(0 < p < 1)$，各次投中与否相互独立．记$X$为停止练习时该同学的投篮次数．
（1）当$N=4$，$p=\dfrac{1}{3}$时，求$X$的分布列；
（2）设$k$，$m$均为自然数．
$(i)$当$k\leqslant N-1$时，求$P(X > k)$；
$(ii)$当$k+m\leqslant N-1$时，证明：$P(X > k+m\vert X > k)=P(X > m)$．
〖答案〗（1）$X$的分布列为：

$X$	1	2	3	4
$P$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{2}{9}$	$\dfrac{4}{27}$	$\dfrac{8}{27}$

（2）$(i)P(X > k)=(1-p)^{k}$；
$(ii)$证明：当$k+m\leqslant N-1$时，$P(X > k+m\vert X > k)$表示前$k$次投篮均未投中的条件下前$k+m$次投篮也均未投中的概率，
即前$k$次投篮均未投中的条件下第$k+1$次到第$k+m$次也均未投中的概率，
所以$P(X > k+m\vert X > k)=(1-p)^{m}$，
又因为$P(X > m)=(1-p)^{m}$，
所以$P(X > k+m\vert X > k)=P(X > m)$．
〖分析〗（1）由题意可知，$X$的所有可能取值为1，2，3，4，利用独立事件的概率公式求出相应的概率，进而得到$X$的分布列；
（2）$(i)$利用独立事件的概率公式求解；
$(i)$利用条件概率公式求解．
〖解答〗解：（1）由题意可知，$X$的所有可能取值为1，2，3，4，
则$P(X=1)=\dfrac{1}{3}$，$P(X=2)=(1-\dfrac{1}{3})\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$，$P(X=3)=(1-\dfrac{1}{3})^{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{27}$，$P(X=4)=(1-\dfrac{1}{3})^{3}=\dfrac{8}{27}$，
所以$X$的分布列为：

$X$	1	2	3	4
$P$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{2}{9}$	$\dfrac{4}{27}$	$\dfrac{8}{27}$

（2）$(i)$当$k\leqslant N-1$时，$X > k$说明前$k$次投篮均未投中，
则$P(X > k)=(1-p)^{k}$；
$(ii)$证明：当$k+m\leqslant N-1$时，$P(X > k+m\vert X > k)$表示前$k$次投篮均未投中的条件下前$k+m$次投篮也均未投中的概率，
即前$k$次投篮均未投中的条件下第$k+1$次到第$k+m$次也均未投中的概率，
所以$P(X > k+m\vert X > k)=(1-p)^{m}$，
又因为$P(X > m)=(1-p)^{m}$，
所以$P(X > k+m\vert X > k)=P(X > m)$．
〖点评〗本题主要考查了离散型随机变量的分布列，考查了条件概率公式，属于中档题．