如图，且，，且，且，平面，。
（Ⅰ）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长。
根据题意，可以建立以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示。则可得：、、、、、、、因为为的中点，所以。
（Ⅰ）依题意有，，
设，为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，
又因为，可得，
又因为直线平面，
所以平面。
（Ⅱ）依题意，可得，，，
设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，
因此有，
故，
所以二面角的正弦值为。
（Ⅲ）设线段的长为（），则点的坐标为，可得，易知，为平面的一个法向量，故，
由题意，可得，
解得，
所以，线段的长为。
本题主要考查空间直角坐标系、空间向量的应用以及点、直线、平面的位置关系。
（Ⅰ）根据题意，建立空间直角坐标系，只需证明与平面的法向量垂直，即可证明平面。
（Ⅱ）分别求平面的法向量和平面的法向量，即可求得二面角的正弦值。
（Ⅲ）根据直线与平面所成的角为，列出关于的方程，即可求出的值。
