（本小题满分14分）
已知，函数，。（的图象连续不断）。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：存在，使得；
（Ⅲ）若存在均属于区间的，，且，使，证明：。
（Ⅰ），，
令，解得：。
当变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间是，的单调递减区间是。
（Ⅱ）当时，。
由（Ⅰ）知，在内单调递增，在内单调递减，
令，由于在内单调递增，
故：，即，
取，则。
所以存在，使，
即存在，使。
（说明：的取法不唯一，只要满足，且即可）。
（Ⅲ）由及（Ⅰ）的结论知，
从而在上的最小值为。
又由，，知。
故，即。
从而：。
本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的性质。
（Ⅰ）对原函数求导解得，令，做出函数变化情况表，求的单调区间。
（Ⅱ）将代入方程，根据“使得”设出新方程，则问题转化为“存在，使得”，再根据（Ⅰ）所求的函数性质推导证明。
（Ⅲ）由（Ⅰ）问所求的函数性质得在上的最小值为，又由，得。列出不等式组，求解证明。
