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双曲线的几何性质

双曲线的几何性质
①双曲线的范围
由双曲线标准方程,双曲线上点的坐标满足不等式,
, ∴,得
这表明双曲线位于两直线的外侧区域里。
②双曲线的对称性
在双曲线标准方程里,以代替方程不变,所以若点在曲线上时,则点也在曲线上,所以曲线关于轴对称;

同理,以代替方程不变,则曲线关于轴对称;同时以代替
代替方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,双曲线关于轴、轴和原点对称。这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,双曲线的对称中心叫双曲线的中心
③双曲线的顶点
确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在双曲线的标准方程中,令的值不存在,则双曲线与轴无交点。令,即是双曲线与轴的两个交点。这两个交点叫做双曲线的顶点
,则线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长;线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长
.若,那么双曲线叫做等轴双曲线,其中渐近线.
若以已知双曲线的虚轴为实轴,以实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
④双曲线的定型三角形
由双曲线的对称性知,双曲线的虚轴端点到顶点的距离为,那么虚轴端点、顶点和中心三点构成双曲线的定型直角三角形,可称之为双曲线的定型三角形
即在中, ,即
⑤双曲线的离心率
双曲线的焦距与长轴的比双曲线的离心率
,∴知,越接近就越小,对应的双曲线张口越小;
反之,越大,就越大,对应的双曲线张口越大。
⑥双曲线的渐近线
Ⅰ、焦点在x轴:双曲线 的渐近线为
,或,或

Ⅱ、焦点在y轴:双曲线 的渐近线为
,即,或,或
⑦双曲线的焦半径
是双曲线上任一点,
双曲线的左焦点和右焦点,则双曲线的焦半径为


是双曲线上任一点,
是双曲线的下焦点和上焦点,则双曲线的焦半径

⑧双曲线的准线
当点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时,这个点的轨迹是双曲线,同样得到双曲线的标准方程 (其中)。这条定直线叫双曲线的准线
根据图形的对称性,双曲线有两条准线,对于中心在原点,焦点在轴上的双曲线,与焦点对应的准线方程分别为
对于中心在原点,焦点在轴上的双曲线,与焦点对应的准线方程分别为
详解:

1.若,那么双曲线叫做等轴双曲线,其中渐近线.
2.若以已知双曲线的虚轴为实轴,以实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。

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