12.2.4两种特殊的双曲线

(1)等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为

$x^2-y^2=a^2$ 或

$y^2-x^2=a^2$
双曲线为等轴双曲线的充要条件:
①两条渐近线互相垂直;
②离心率

$e=\sqrt{2}$ .
(2)共轭双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，或称它们互为共轭双曲线，
双曲线

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 与

$-\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 互为共轭双曲线.
①互为共轭双曲线有共同的渐近线;
②互为共轭双曲线的四个焦点共圆(焦距相
同),且有相同的基本矩形;
③互为共轭双曲线的离心率

$e_1,e_2$ 满足关系

$e_1^2+e_2^2=e_1^2\cdot e_2^2$ 即

$\dfrac{1}{e_1^2}+\dfrac{1}{e_2^2}=1$

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