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4.3.7函数的最大值与最小值<-->4.3.9生活中的优化问题
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上最大值与最小值的步骤如下:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与端点处的函数值,f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
注意!
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值,因此,求出函数的极大值和极小值是关键.
极值与最值的关系:
极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值.
②如果仅仅是求最值,还可将上面的办法化简,因为函数f(x)在[a,b]内的全部极值,只能在f(x)的导数为零的点或导数不存在的点取得(下称这两种点为可疑点),所以只需要将这些可疑点求出来,然后算出f(x)在可疑点处的函数值,与区间端点处的函数值进行比较,就能求得最大值和最小值.
③当f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时,其最大值、最小值在端点处取得.
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