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1.2.2 集合相等

1.2.1 子集与真子集<-->1.2.3 Venn图

如果集合A与集合B的子集（ $A\subseteq B$ ）.且集合B是集合A的子集（ $B\subseteq A$ ），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B.

需要理解以下几点：

（1）若

$A\subseteq B$ ，同时

$B\subseteq A$ ，则

$A=B$ .

因为

$A\subseteq B$ ，所以A中的元素都是B的元素；又因为

$B\subseteq A$ ，所以B中的元素都是A的元素.也就是说，集合A与集合B中的元素是完全相同的，因而我们说A与B时相等的集合.

（2）上面的方法给出了我们证明两个集合相等的办法，即欲A=B，只需证明

$A\subseteq B$ 与

$B\subseteq A$ 同时成立即可.

（3）运用集合相等解有关问题时，要注意检验所得的结果是否符合集合中元素的三个特征.

例已知集合

$A=\left\{ a,a+b,a+2b \right\}$ ，

$B=\left\{ a,ac,a{{c}^{2}} \right\}$ .若

$A=B$ ，求C的值.

分析要解决此题中c的求值问题，关键是应根据相等的两个集合的元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、无序性来建立关系式.

解：分两种情况进行讨论：

（1）若

$a+b=ac$ ，即

$a+2b=a{{c}^{2}}$ ，消去b得

$a+a{{c}^{2}}-2ac=0$ .

$a=0$ 时，集合B中的三个元素均为零，与集合中元素的互异性矛盾，故

$a\ne 0$ .

∴

${{c}^{2}}-2c+1=0$ ，即

$c=1$ ，但

$c=1$ 时，B中的三个元素又相同，此时无解.

（2）若

$a+b=a{{c}^{2}}$ 且

$a+2b=ac$ ，消去b得

$2a{{c}^{2}}-ac-a=0$ .

∵

$a\ne 0$ ，∴

$2{{c}^{2}}-c-1=0$ .即

$\left( c-1 \right)\left( 2c+1 \right)=0$ .

又

$c\ne 1$ ，故

$c=-\dfrac{1}{2}$ .

经验证，

$c=-\dfrac{1}{2}$ 符合题设要求，故

$c=-\dfrac{1}{2}$ .

1.2.1 子集与真子集<-->1.2.3 Venn图

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