1.1.5 集合的分类

集合通常可分为有限集、无限集、空集.

含有有限个元素的集合叫做有限集.

含有无限个元素的集合叫做无限集.

不含任何元素的集合叫空集,通常记为$\varnothing $.

(4)数0、$\left\{ 0 \right\}$、$\varnothing $、$\left\{ \varnothing  \right\}$的关系:数0不是集合, $\left\{ 0 \right\}$是含一个元素0的集合,而$\varnothing $是不含任何元素的集合, $\left\{ \varnothing  \right\}$是指以$\varnothing $为元素的集合.

 

例 在

(1) $\left\{ 0 \right\}$;

(2) $\left\{ \varnothing  \right\}$;

(3)$\left\{ x\left| 3m<x<m \right. \right\}$;

(4)$\left\{ x\left| a+2<x<a \right. \right\}$;

(5)$\left\{ x\left| {{x}^{2}}+1=0,x\in \mathbb{R} \right. \right\}$

中表示空集的是________.

 

解析:

(1)和(2)是很多初学者容易出现的对空集的错误表示法.

对于(3),不要认为$3m\geqslant m$而断定$\left\{ x\left| 3m<x<m \right. \right\}$是空集,因为当$m<0$时,显然$3m\geqslant m$不成立.

在(4)中,不论$a$为何实数,总有$a+2>a$,故是空集.

对于(5),在实数范围内找不到平方等于-1的实数,故为空集.

因此应填(4)(5).

[答案] (4)(5)