高考数学必做百题第67题（理科2017版）

（1）求证：$AC\bot SD$；

（2）若$SD\bot $平面$PAC$，则侧棱$SC$上是否存在一点$E$，使得$BE//$平面$PAC$。若存在，求$SE:EC$的值；若不存在，试说明理由。

（1）证明：连接$BD$，设AC交$BD$于O，则

$AC\bot BD$。

∵四棱锥$S-ABCD$的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，

∴四棱锥$S-ABCD$是正四棱锥，

∴SO⊥平面ABCD。

以O为坐标原点，$\overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OS}$分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图的空间直角坐标系。

 

设底面边长为$a$，则高$SO=\dfrac{\sqrt{6}}{2}a$，于是

S， D， B，C，

∴$\overrightarrow{OC}=\left( 0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}a,0 \right)$，$\overrightarrow{SD}=\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}a,0,-\dfrac{\sqrt{6}}{2}a \right)$，

∵$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{SD}=0$，∴$OC\bot SD$，从而$AC\bot SD$。

（2）解：设棱$SC$上存在一点$E$，使$BE//$平面$PAC$。理由如下：

∵$SD\bot $平面$PAC$，∴$\overrightarrow{DS}$是平面$PAC$的一个法向量，

又$\overrightarrow{DS}=0\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}a,0,\dfrac{\sqrt{6}}{2}a \right)$，

$\overrightarrow{CS}=\left( 0,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}a,\dfrac{\sqrt{6}}{2}a \right)$，

$\overrightarrow{BC}=\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}a,\dfrac{\sqrt{2}}{2}a,0 \right)$。

设$\overrightarrow{CE}=t\overrightarrow{CS}$，则

$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}+t\overrightarrow{CS}$

$=\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}a,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\left( 1-t \right),\dfrac{\sqrt{6}}{2}at \right)$，

∵$BE//$平面$PAC$，∴$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{DS}=0$,

即$-\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}+\dfrac{3}{2}{{a}^{2}}t=0$，解得$t=\dfrac{1}{3}$。

∴当$SE:EC=2:1$时，$\overrightarrow{BE}\bot \overrightarrow{DS}$。

又$BE$不在平面$PAC$内，∴$BE//$平面$PAC$。